明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考

☉江苏苏州市第十六中学　付小飞

明辨并列与递进，引导分离和聚焦——2016年江苏苏州中考第28题解析与教学思考

☉江苏苏州市第十六中学付小飞

一、写在前面

中考把关题不仅承载着区分、选拔的测试功能，还引导着教学导向.比如不少解题、命题研究的文献中提及的重视概念教学、重视数学思想方法等.本文以2016年苏州中考第28题为例，给出思路突破与解后反思，接着从解题教学要注重引导学生明辨综合题的系列小问之间的关系，对于繁杂图形线条问题要引导分离和聚焦图形这两个角度，跟进教学思考，最后提供一个变式改编题，供分享与研讨.

二、考题解析与反思

考题：（2016年江苏苏州中考，第28题）如图1，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B.

图1

（1）求该抛物线的函数表达式.

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式，并求出S的最大值.

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′.

①写出点M′的坐标.

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转.在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C.设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）.

1.思路突破

（1）所给的直线解析式是明确的，则易得A、B点的坐标分别为（1，0）、（0，3）.根据题意把B点的坐标代入抛物线的解析式中，可得a=-1，则该抛物线线的函数表达式为y=-x2+2x+3.

图2

②首先对待求的设问做“目标解析”，构造图3分析，作BG⊥l′，M′H⊥l′，垂足分别为G、H.

图3

会发现△ABM′的面积已定，这时它的面积还可以由△ABC与△AM′C的面积之和来求，而这两个三角形的面积之和可以是显然，当AC最小时，d1+d2取得最大值，则AC是BM′边上的高！接下来要攻克的是此时∠BAC的度数！

2.解后反思

第一，解题关键是哪一步？

从上面的求解来看，关键的一步出现在（2）中关于△ABM′的面积S的函数表达式，如果能准确获得S关于m的二次函数关系式，则可以利用二次函数顶点公式获得最大值，而这对后续（3）也起到奠基作用.由于（2）的基础性和奠基作用，我们应该对解（2）的其他思路展开探求.

第二，还可以怎样求解？

图4

此外，如果从直线与抛物线相切的视角来看，还可以把直线l向右平移（或者向上平移），当平移后的直线l与抛物线相切时，切点就是所求的M′！

第三，（3）的深层结构是什么？

作为全卷最后一题的最后一问，它的设问已转向另一个问题，基本与原抛物线无关了，不妨分离图形（如图5）.

揭开问题设计的层层包装（如直线旋转、两条垂线段之和等）之后，问题的本质就是当AC⊥BM′时，分析△ABC的形状，直至发现这是一个等腰直角三角形，问题获得解决.

图5

三、教学思考

1.引导学生辨别并列式与递进式设问

由于本题的（3）明确说明“在（2）的条件下”，所以在综合题解题教学指导时，需要引导学生明辨并列式与递进式问题，如果没有“在（2）的条件下”这样的表述，则各个小问只是从属于题干，而各个小问之间没有直接关系，严禁混用强化条件，但是并列式小问之间的解法思想却往往是有内在启发或暗示的.

2.促进学生分离图形、聚焦图形的意识

当问题的条件、图形中线条较为繁杂时，如果不能及时解读条件、排除干扰，学会分离、聚焦图形，则解题思路往往不顺畅，推理、演算常常缺少明确的路径选择，这是解题教学时要重视的方向.根据教学经验，不少解题能力偏弱的学生，往往就是在繁杂信息（符号信息多，图形线段多）干扰下，难以精准解读、有效捕捉，而偏离解题方向，这也说明解题教学时除了要教解题、引导分离图形和聚焦图形，还要在成功解题后，反思为什么这样分离图形和聚焦图形，通过解题反思、自觉分析提高解题能力.

3.解题教学后安排变式再练

很多同行都有体会，解题教学（特别是较难的综合题）之后，学生听懂了，但不一定能独立解答，即使独立解出来后，也不一定能条理分明地讲出来，这也就是说“听懂、会做、能讲”这一系列中，能讲才是最高层次.此外，为了追求较好的解题教学效果，笔者近年来开展了听课后变式再练的检测环节，不仅促进学生认真听课，而且切实反馈了教学效果.作为必要实践展示，本文结束之前，我们也对本考题讲评之后预设如下的变式检测，供研讨.

变式题：如图1，平面直角坐标系xOy中，直线l：y= -3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点M是抛物线y= -x2+2x+3上一个动点，且点M在第一象限内，连接AM、BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S.

（1）当m=1时，求S的值；

（2）当S取得最大值时，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，若过点A的直线l′交线段BM于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2都取得最大值时，求∠BAC的度数.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

2.【美】波利亚.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

3.邓东皋，孙小礼，张祖贵，编.数学与文化［M］.北京：北京大学出版社，1999.Z