简约而深刻：值得关注的新定义考题命题导向——以北京市两道新定义考题为例

☉江苏灌南县实验中学　刘光建

简约而深刻：值得关注的新定义考题命题导向——以北京市两道新定义考题为例

☉江苏灌南县实验中学刘光建

一、写在前面

近年来，以北京市为代表的中考试卷，把新定义考题安排在全卷最后一题作为把关题，它承载了区分、选拔功能，其原创取向、由浅入深、数形结合的命题风格，体现了命题组的命题功底，同时这类新定义考题呈现又非常简约，深入思考下去又会有很丰富的内涵和意蕴.本文例举北京市两道考题，先给出思路解析，再跟进赏析命题导向，供研讨.

二、考题解析与反思回顾

考题1：（2016年北京市中考卷，第29题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2， y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图1为点P、Q的“相关矩形”的示意图.

（1）已知点A的坐标为（1，0）.

①若点B的坐标为（3，1），求点A、B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式.

思路解析：（1）①根据“相关矩形”的定义，可以画出符合要求的矩形（如图2）.

此时矩形的面积是1×2=2.

②在图3中构造出直线x=3，进一步分析“相关矩形”为正方形的两种可能.

图1

图2

图3

从图3中可知：直线AC1的解析式是y=x-1，直线AC2的解析式是y=-x+1.

（2）可以想见两种“极值”位置，如图4，当点N1的坐标为（1，1）时，对应的M1的坐标可以是（-1，3）；当点N2的坐标为（1，-1）时，对应的M2的坐标可以是（5，3）.根据轴对称性质，发现M到y轴的距离不可能小于1，也不可能大于5，故m的范围是-5≤m≤-1或1≤m≤5.

难点释疑：问题是为什么点N恰在直线x=1（或直线x=-1）上时，会出现两处m的极值位置？结合新定义“相关矩形”向正方形的强化，本质上是⊙O上一点N到两坐标轴距离之和最大时，会出现m的极值位置.为了说得更清楚，我们再构思图5，进一步释疑.

图4

图5

简要说明：在Rt△NHO中，a2+b2=2，配方变形得（a+ b）2=2+2ab，当a=b=1时，a+b取得最大值.

事实上：直角三角形斜边长一定，当两直角边相等时，这个直角三角形的周长最大，面积也最大.

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°.

①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP= 90°，求点P的坐标；

②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；

③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是_____.

图6

思路解析：首先理解题意，定义中提到的线段AB就是x轴上一条动线段，当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”.这个点P与点A、B可以确定一个圆（令t=0，即点A在原点时），可以先作出等边三角形PAB，再作出该三角形的外接圆，从而可确定点P的轨迹，如图6，该圆在x轴上方的部分即为符合要求的点P的集合.

（2）①构造图7分析.

利用定义可知∠APB=60°，由∠ABP=90°，可得∠PAB=30°.又∠OMN=30°，可得PA=PM，AB=BM.由于定长线段，故.解出PB=1，则点，1）.

图7

图8

②如图8，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q.

由BQ⊥AP，且∠APB=60°，可得∠PBQ=30°.故∠ABQ=60°，故∠BMQ=∠MQB=30°.所以BQ=BM=AB.即△ABQ是等边三角形.所以∠AQB=60°.

图9

三、关于新定义考题的命题思考

1.“简约呈现”的新定义考题值得点赞

统计全国各地每年的新定义考题，大多阅读量较大，300字以上的新定义考题不在少数，有些新定义考题设问也偏多（多达4个以上小问），对于时间偏紧的数学考试来说，大阅读量的新定义考题使得学生望而生畏，不少考生甚至对于第一问也不愿深入思考，从而失去了该题的考查功能，而北京地区上述两道新考题，呈现相对较为简约，入口也很宽，第一问只要学生理解了新定义就可顺利求解，这种命题导向值得点赞.

2.“简约而不简单”的把关题值得深入思考

除了简约呈现，问题的思考有序推进、渐入佳境、易进难出.对于上面两道考题，考生在顺利解决第一问后，第二问就需要分类讨论、数形结合分析，到第三问虽然运算量不大，但对思维层次的要求非常高，如果考生没有深刻理解、关联初中阶段相关的知识或性质，则解题思路就不会顺畅，造成解题障碍.最后一问蕴含着“在直角三角形中，当斜边一定时，两直角边之和最大时，该直角三角形为等腰直角三角形”这一奇异性质.

四、写在最后

新定义考题还有不完善的地方，如何让新定义考题以简约而深刻的面貌呈现出来呢？北京地区的相关试题为我们“打开了一扇窗”，值得思考和关注，也期待更多有命题兴趣的同行丰富相关案例和思考.

1.肖维松.回到概念：解题教学的一种取向——以2014年江苏泰州卷第25题教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2014（7）

2.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

3.【美】波利亚.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

4.季群.一道新定义考题的思路突破与教学思考［J］.中学数学（下），2016（2）.Z