聚焦《数系的扩充与复数的引入》中的几类经典问题

■河南省平顶山市一中 李智恒



聚焦《数系的扩充与复数的引入》中的几类经典问题

■河南省平顶山市一中 李智恒

数系的扩充与复数的引入在高考中以容易或中档的小题出现，试题具有活而不难的特点，且常考常新。同学们学习时应狠抓基础，对复数的概念、复数运算等要熟练掌握，还要注意对数形结合思想，复数问题实数化以及方程思想的挖掘和应用。

聚焦一：复数有关概念中的“巧设”和“分类意识”

A.2i B.i C.-i D.-2i

(2)(2015年河北衡水中学调研卷)z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中实数a∈R,z1>z2,则a的值是____。

(2)依据两个实数才能比较大小构建方程和不等式组确定参数范围。

点评：由实数扩充到复数后,实数系的有些性质、运算法则对于复数系并不适用,故解答复数问题时要依据复数的概念合理进行转化，不能轻易地将实数系中的一些运算法则或性质照搬到复数系内。如当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小。

聚焦二：利用复数相等的充要条件化虚为实

聚焦三：复数运算中的“分母实数化”

解析：分母实数化。

聚焦四：利用共轭复数的性质整体求解复数

当b=0时，z=a，|a-2|=2，则a=0或4。当a=0时不合题意舍去，所以z=4。

当b≠0时，a2+b2=1。

又|z-2|=2，则：

解法2： 利用共轭复数的性质。

聚焦五：数形结合法探究模的最值

例5 设复数满足||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|，求|z|的最大值和最小值。

解析：观察分析等式||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|，根据实数的性质知，若|a|=-a，则a≤0。

因此，|z+4-3i|-2≤0。

图1

挖掘|z+4-3i|-2≤0的几何意义，它表示的以点P(-4，3)为圆心，半径为2的圆及内部。如图1，可知 |z|=|OQ|时，|z|有最大值，|z|max=|OQ|=|OP|+R=5+2=7；

|z|=|OM|时，|z|有最小值，|z|min=|OM|=|OP|-R=5-2=3。

点评：复数既可用代数形式，也可用几何形式表示。这……