改进后的复合Poisson-Geometric风险模型盈余首达时间分析

韩建勤，乔克林

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)



改进后的复合Poisson-Geometric风险模型盈余首达时间分析

韩建勤，乔克林

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

对赔付为复合Poisson-Geometric的经典风险模型进行改进,并运用鞅的方法对改进后的模型进行研究,得到盈余首次达到给定水平时刻的拉氏变换以及相应的期望、方差和3阶中心矩的具体表达式.

负二项过程;Poisson-Geometric项过程;鞅;停时

0 引言及模型简介

在保险公司对某同质保单组合实施推出免赔付额制度和无赔款折扣等制度的背景下，毛泽春和刘锦萼引入了一类描述赔付计数过程的复合Poisson-Geometric过程,结合经典风险模型,许多学者对其进行了推广,并得到了许多有关破产概率方面的结果[1-8],例如: 文献[1]中在经典风险模型上对破产概率进行了研究,得到了破产概率所满足的更新方程,而且在索赔服从指数分布的情况下给出了破产概率的显示表达式;文献[2]中将经典的风险模型推广到复合P-G模型,研究了其破产概率的上界估计问题，并得到了估计式;文献[3]中对索赔为复合Poisson-Geometric过程的双险种风险模型进行研究,给出了当初始资本为0及索赔额为指数分布下破产概率的具体表达式,并利用鞅方法得到了最终破产概率满足的Lundberg不等式和一般公式.

笔者主要考虑到保险公司发生破产的概率毕竟非常小,保险公司更加关心公司需要多长时间盈利首次达到给定的水平,以便公司进行合理规划,采取适当的措施防止破产发生等一系列因素,在文献[4-9]的基础上,针对一类改进的风险模型,利用鞅的知识对其盈余首次达到给定水平的时刻进行研究，得到给定水平时刻的拉氏变换以及相应的期望、方差和3阶中心矩的具体表达式.

定义 在一个完备概率空间(Ω,F,P)上,设保险公司的盈余过程为

U(t)=(u-F)+(1+tj)F+Z(t)-S(t)+σW(t)，

假设:

1) 设u为初始资本，F表示根据初始资本及在单位时间内预测赔付额的大小而设定用于投资的资金，j表示单位时间的投资收益.

3) 保险公司收取保单和进行理赔均在离散的时刻t(t=0,1,2,)进行的.

因为本文中并不考虑破产概率,所以可以令U(0)=0,即u=0.故盈余过程可简写为

U(t)=tjF+Z(t)-S(t)+σW(t)

(1)

1 预备引理

引理1.1[10]盈余过程{U(t),t≥0}具有平稳的独立增量性.

引理1.2 对于盈余过程{U(t),t≥0}存在函数s=s(r)使得E[e-rU(t)]=ets,且函数s(r)=0存在唯一的正解R,称R为调节系数.

其中:

(2)

引理1.2的证明 根据模型(1)式得

E[e-rU(t)]=E[exp(-rtjF-rZ(t)+rS(t)-rσW(t))]=

E[exp(-rtjF)]E[exp(-rZ(t))]E[exp(rS(t))]E[exp(-rσW(t))]=

即证,存在函数s=s(r)使得E[e-rU(t)]=ets.

又因

故

(3)

(4)

从而有

引理1.3的证明 因为

E[e-rU(t)-st|Fv]=E[e-rU(t)-st+rU(v)+sv-rU(v)-sv|Fv]=

E[e-rU(v)-sve-r(U(t)-U(v))-s(t-v)|Fv]=

e-rU(v)-svE[e-rU(t-v)-s(t-v)|Fv]=e-rU(v)-sv,

引理1.4[11]假设T是关于鞅{X(t),t≥0}的有界停时,则有E[X(T)]=E[X(0)].

2 主要结论及证明

定理2.1T的拉氏变换E[e-sT]=erx,其中s,r满足(2)关系式.

定理2.1的证明 对于过程{U(t),t≥0},由鞅停时理论知T为事件Fn-停时,故可由引理3和引理4得E[e-rU(t)-ts]=1,又因为U(T)=x,所以E[e-rx-Ts]=1,即E[e-sT]=erx,证毕.

其中:

定理2.2的证明 在定理2.1中E[e-sT]=erx的基础上,令φ(s)=lnE[e-sT],则有φ(s)=rx,进而可得

(5)

故当令s=r=0时,由(3),(5)式得

同理有

(6)

同样当令s=r=0时,由(6),(7),(8)式得

类似地有

再由(4)式有

令s=r=0时,由(3),(4),(8)式得

[1] 毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报,2005,28(3):419-428.

[2] 张淑娜,陈红燕,胡亦钧.一类推广的复合Poisson-Geometric风险模型破产概率[J].数学杂志,2009,29(4):567-572.

[3] 熊莹盈,高莘莘.关于复合Poisson-Geometric风险模型破产概率的研究[J].湖北大学学报(自然科学版),2011,33(1):31-35.

[4] 谢杰华,邹娓.一类具有时间相依索赔风险模型的破产概率[J].中国科学院研究生院学报,2008,25(3):313-319.

[5] 贠小青.Poisson-Geometric风险模型调节系数不存在的破产概率[J].数学的实践与认识,2015,45(15):189-195.

[6] 乔克林,韩建勤,延杰，等. 带干扰的双复合负二项风险模型的连续化[J].河南科学,2015,33(12):2075-2080.

[7] 廖基定,刘再明,龚日朝.赔付次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型破产概率上界估计[J].南华大学学报(自然科学版),2008,22(3):5-8.

[8] 王贵红,赵金娥,龙瑶.一类索赔为复合Poisson-Geometric过程双险种风险模型的破产概率[J].数学的实践与认识,2014,44(21):6-12.

[9] 赵金娥,王贵红,龙瑶.复合Poisson-Geometric风险模型下盈余首次达到给定水平的时间分析[J].云南名族大学学报(自然科学版),2012,21(1):26-29.

[10] 龚日朝.保险风险理论模型[M].北京:中国经济出版社,2011.

[11] Gerber H U. An introduction to mathematical risk theory[M].Philadelphia: University of Pennsylvania,1979.

(责任编辑 赵燕)

Analysis of the time when the surplus reaches a level firstly in an improved Poisson-Geometric risk model

HAN Jianqin，QIAO Kelin

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,China)

Be improved which the claim numbers is a Poission-Geometric process in the paper. Using the martingale method，the time when the surplus reaches a level firstly is considered，and its Laplace translation and its mean andk-th central moments (k=2,3)are obtained.

negative processes; Poission-Geometric process; martingale; stopping time

2016-03-23

陕西省教育厅专项科研计划项目(2013JK0576)，延安市科学技术研究发展计划项目(2014ZC-6)和延安大学研究生教育创新计划项目资助

韩建勤(1988-),男,硕士生;乔克林,通信作者，副教授,E-mail:yadxqklin@163.com

1000-2375(2016)06-0484-04

O211.5

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.06.003