基于奇异值分解和变分模态分解的轴承故障特征提取

赵洪山， 郭双伟， 高 夺

(华北电力大学(保定) 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)



基于奇异值分解和变分模态分解的轴承故障特征提取

赵洪山， 郭双伟， 高 夺

(华北电力大学(保定) 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

为了有效提取轴承故障，提出了基于变分模态分解和奇异值分解降噪的故障特征提取方法。通过对故障信号进行变分模态分解，获得其本征模态函数。基于峭度指标，选择包含故障信息的本征模态函数进行信号重构。利用奇异值分解降噪技术对重构信号进行处理，提高信噪比。最后对降噪信号进行包络解调提取故障特征频率。与常见的故障特征提取方法相比，该方法能有效辨别滚动轴承的典型故障，突出故障特征，提高滚动轴承的故障诊断效果。

变分模态分解;奇异值分解;滚动轴承;故障特征提取

轴承是机械传动系统的核心部件[1]，在功率传递的过程中发挥着至关重要的作用，如新能源风力发电机主轴承、齿轮箱的各级轴承等。一旦轴承发生故障，传动系统的正常运行会受到极大影响。在轴承的故障中，元件表面损伤最为常见。轴承元件发生表面损伤后，会和与之配合的元件表面发生撞击，产生频带很宽的脉冲力，覆盖轴承的固有频率，从而激起系统的高频固有振动，导致轴承故障信号的频谱产生多个共振峰，共振峰中包含了故障信息。

共振解调法[2]通过对振动信号进行窄带滤波得到包含故障信息的故障频带，利用包络解调进行故障特征提取。该方法能有效提取滚动轴承的局部故障特征，但若共振频段选择不合理，会造成故障特征无法提取，进而影响故障诊断结果。小波变换[3]能够对振动信号进行分解，得到每一频带内振动信号的变化规律。该方法具有多分辨率的优点，可以由粗到细地逐步观察信号，从而实现故障特征的有效提取。但基函数与阈值的选择对检测结果有较大影响，对设计者的要求也较高。以Wingner-Ville分布为基础的双线性时频分析方法也被应用到故障特征的提取中[4-5]，该方法提供了时间域与频率域的联合分布信息，清楚地描述了信号频率随时间变化的关系，具有很好的频谱分辨率。但由于交叉项的存在，容易造成信息丢失与频率混叠，不利于对瞬态信号的探测。经验模态分解[6](Empirical Mode Decomposition, EMD)可以处理非线性、非平稳信号，能自适合地将非平稳信号分解为若干平稳的本征模态函数(IMF)，克服了小波变换和自适应时频分析方法的不足，具有自适应、正交性和完备性的特点，在故障特征提取方面受到广泛关注[7-8]。然而，EMD方法本身存在着一些不足，如模态混叠[9]、存在端点效应、受采样频率影响较大等[10]。对此，DRAGOMIRETSKIY等[11]提出一种自适应信号处理新方法—变分模态分解(Variational Mode Decomposition, VMD)，既保留了EMD对非平稳信号自适应分解的优点，又弥补了EMD方法的不足。

奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)本身具有极好的稳定性和不变性。通过构造信号的Hankel矩阵，并对矩阵进行奇异值分解，选取恰当的奇异值进行信号重构能有效地消除信号中的随机成分，最大限度地保留有用信息，剔除无用信息，提高信号的信噪比。

本文结合变分模态分解(VMD)和奇异值分解提出一种新的轴承故障特征提取方法。故障信号经VMD分解为若干IMF，基于峭度指标，选取包含故障信息的IMF进行信号重构。利用SVD对重构信号进行降噪处理，最后对降噪信号进行包络解调，提取轴承的故障特征。

1 变分模态分解(VMD)

变分模态分解 (VMD)是一种新的信号分解估计方法。在VMD算法中，每一个本征模态函数(IMF)均被视为调幅-调频信号uk(t)：

uk(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(1)

VMD的分解过程是一个变分问题的求解过程。假设每个IMF具有有限带宽，变分问题可表示为寻求k个模态函数uk(t)，使得所有模态函数的估计带宽之和最小，并且满足各模态之和等于原始输入信号f的约束条件。具体的分解步骤如下：

(1)对每一个模态分量信号uk(t)，利用Hilbert变换计算与之对应的解析信号，得到其单边频:

(δ(t)+j/πt)·uk(t)

(2)

(2)加入指数项e-jωkt调整每一种模态函数对应解析信号的预估中心频率，将每个模态的频谱转移至基带：

[(δ(t)+j/πt)·uk(t)]e-jωkt

(3)

(3)利用H1高斯平滑估计移频后解析信号的带宽，得到受约束的变分问题如下：

s.t. ∑uk=f

(4)

式中：{uk}:{u1,u2,…uk}，{ωk}:={ω1,ω2,…ωk}

(4)引入二次惩罚因子α和拉格朗日乘子算子λ(t)构造扩展拉格朗日表达式Γ(uk,ωk,λ):

Γ(uk,ωk,λ)=α∑k‖∂t[(δ(t)+

(5)

通过反复迭代，寻找扩展拉格朗日表达式的“鞍点”求解最小值，获得最优解。最优解为本征模态函数{uk}及各自的中心频率{ωk}。

2 奇异值分解(SVD)

对于离散数字信号序列{hi,i=1,2,…,N}，根据相空间重构理论[12]可得到L×K阶的Hankel矩阵：

(6)

式中：N为信号长度，K=N-L+1，延时值为1，H为轨道矩阵。

轨道矩阵H经奇异值分解得到：

H=USVT

(7)

式中：U、V为正交矩阵:VT为V的转置；S为对角阵，S=diag(σ1,σ2,…σn)σ1,σ2,…σn为奇异值，V∈RK×K。

由奇异值理论知[13]：信号中的有用分量对应前k个奇异值，噪声分量对应后面较小的奇异值。利用前k个奇异值进行矩阵重构可以在Forbeious范数意义下实现对H的最佳逼近，从而降低噪声，提高信噪比。

奇异值的差分谱为相邻两奇异值的差值：

di=σi-σi+1,(i=1,2,…,t)

(8)

式中：t=min(L,K)-1。根据差分谱的定义知，两个相邻的奇异值相差愈大，在差分谱中对应的峰值也愈大，所表现出的特征也愈明显。选取合适的差分谱谱峰[14]对应的奇异值对信号进行重构可实现信号的降噪处理。由于差分序列的元素数值较大，本文采用变量Sk表示差分谱，其计算公式如下:

(9)

3 基于VMD与SVD降噪的故障特征提取

3.1 VMD分解的优点

EMD采用循环包络筛分方法处理信号，实现信号从高频到低频的自适应划分，本质上是一组频率由高到低的带通滤波器。由于EMD算法本身的缺陷，在划分信号时会产生模态混叠，强噪声时更加明显。此外，模态混叠还会导致包络解调的频带中产生大量无关频带，极不利于轴承故障特征的提取。VMD算法利用递归迭代计算变分模型最优解来确定每个IMF的频率中心与带宽，IMF的频率中心及带宽在变分模型的迭代求解中不断变化，自适应地实现信号频域剖分与各IMF的分离。每个模态分量的频带紧紧围绕在中心频率附近，不会出现模态混叠现象，包络解调时亦没有无关频带，便于故障特征的提取。

3.2 峭度指标对故障信号的筛选

轴承信号经过VMD分解，故障信息被分解到IMF中。若要进行故障特征提取，需选择合适的指标将包含故障信息的IMF筛选出来。

峭度被用来表示样本的密度函数图形顶峰的凸平度，其计算公式如下：

K=E(x-μ)4/σ4

(10)

式中:μ为信号x的均值；σ为信号x的标准差。

当轴承处于正常运行状态时，振动信号的幅值分布近似于正态分布，其峭度值约等于3。信号中存在较多冲击成分时，即包含较多故障信息时，信号的峭度会明显变大[15]。峭度值愈大，信号中冲击成分所占的比重愈多,故障特征信息也越易提取[16]。

3.3 算法步骤

基于变分模态分解和奇异值分解降噪进行故障特征提取的具体步骤如下：

(1)对原始振动信号进行VMD分解，得到若干IMF。

(2)利用峭度指标对冲击信号的指示作用，计算不同IMF的峭度值，选择峭度较大的IMF进行信号重构。

(3)对重构信号的Hankel矩阵进行奇异值分解。

(4)求取奇异值的差分谱,选择合适的差分谱谱峰，利用其对应的奇异值进行信号重构。

(5)对步骤4得到的信号进行包络解调，确定故障是否发生，以及故障发生部位。

4 实验数据分析

4.1 实验装置

以美国凯斯西储大学轴承数据中心的故障数据作为研究对象，对轴承进行故障诊断，并判断故障类型及其发生的位置。

测试平台包括驱动电机、测力计、转矩传感器和电子控制装置。电机转轴由被测轴承支撑,两端分别为驱动端和风扇端，轴承型号为：SKF6025-2RS。轴承的振动信号由加速度传感器采集,电机驱动端和风扇端的12点钟方向(即径向载荷方向)分别安装一个加速度传感器。故障则是通过电火花技术在外圈和内圈上加工凹坑来模拟。

滚动轴承试验装置如图1所示,图中标注了试验装置的各个部件,三个安装在不同位置的加速度传感器依次编号为①，②，③,分别表示电机驱动端的传感器、电机风扇端的传感器、试验台基座上的传感器。

图1 试验测试平台Fig.1Experiment platform

4.2 实验故障数据分析

试验采集的轴承外圈故障振动信号波形与频谱如图2(a)和图2(b)所示，此时转速传感器测得的驱动端的转速为 1 796 r/min，信号采样频率为12 000 Hz，采样点个数为8 000，外圈故障特征频率为106.5 Hz。

图2 轴承外圈故障振动信号的波形与频谱Fig.2 Vibration signal waveform and spectrum of bearing outer ring fault

轴承外圈振动信号VMD分解的各模态频谱如图3所示。从图3可知，原始振动信号经VMD分解得到若干IMF。

图3 外圈故障信号VMD分解各模态频谱Fig.3 Vibration signal spectrum of each mode by VMD decomposition of the bearing outer ring fault

不同IMF频率成分不同，每个IMF紧紧围绕在某一频率中心。图3中各IMF分量的峭度值如表1所示。

表1 各IMF分量的峭度值Tab.1 The kurtosis of each IMF

由表1可知，IMF2和IMF3的峭度值较大，包含的故障信息较多。因而利用IMF2和IMF3得到重构信号u(t),u(t)的波形和频谱如图4所示。

图4 重构信号u(t)的时域波形与频谱Fig.4 Reconstructed signal u(t) waveform and spectrum

利用奇异谱分解对信号u(t)进行降噪以提高信噪比。对信号u(t)信号的Hankel矩阵进行奇异值分解，奇异值的分布如图5所示。

图5 信号u(t)轨道矩阵的奇异值Fig.5 Singular value of u(t) Hankel matrix

计算信号u(t)奇异值的差分谱，结合信号u(t)轨道矩阵的奇异值，利用前14个奇异值对信号进行重构，获得信号v(t)。信号v(t)的波形与频谱如图6(a)、图6(b)所示。

与图4(b)中的频谱相比，可以观测到经过SVD降噪处理，无关噪声频带被去除，有用信号的频带则被最大限度保留。经SVD降噪处理信号和初始信号的信噪比如表2所示。

表2 初始信号与处理信号的信噪比Tab.2 The original and reconstructed signal-to-interference ratio

通过对比可知，信噪比获得较大提高。

利用Hilbert变换对信号v(t)进行包络解调，去除高频振动频率成分，得到低频包络信号k(t)。低频包络信号k(t)的频谱如图6(c)所示。

图6 信号v(t)的波形、频谱、包络谱Fig.6 Vibration signal waveform， spectrum and envelop spectrum of signal v(t)

转轴驱动端的转速为1 796 r/min，转频为29.63 Hz。在图6(c)中，频率28.5 Hz的位置处存在峰值，十分接近理论转频29.63 Hz。轴承处于工作状态时，滚子和滚道会产生轻微的相对滑动，因而理轮转频与实际提取的转频存在细微差异。图6(c)中的105 Hz处可观测到明显峰值，对应轴承外圈的故障特征频率。同时在210 Hz、315 Hz的位置也存在较为明显的峰值，与故障特征频率的二倍频、三倍频相对应，和轴承外圈的故障特征相吻合。从图6(c)可知，经过VMD分解和SVD降噪处理，故障特征频率及其倍频变得非常突出，轴承的故障特征明显。

图7 轴承内圈故障信号的波形、频谱、包络谱Fig.7 Vibration signal waveform, spectrum and envelop spectrum of bearing inner ring fault

利用同样方法处理内圈故障信号w(t),w(t)的波形与频谱如图7(a)和图7(b)所示。此时，驱动端的转频为1 794 r/min，理论转频为29.9 Hz，经计算理论故障特征频率为160 Hz。利用上述方法对信号w(t)处理得到的信号包络谱如图7(c)所示。

在图7(c)中，频率30 Hz、58.5 Hz、88.5 Hz处可观测到较为明显的峰值，分别对应转频及其二倍频与三倍频。此外，频率160.5 Hz处亦可观测到明显波峰，对应着故障特征频率。此外，在160.5 Hz附近的130.5 Hz和189 Hz处存在较为明显的峰值，对应着1倍转频的调制边频带，与轴承内圈的故障特征相符。

图8 EMD分解后前3个IMF分量的频谱Fig.8 Vibration signal spectrum of the first three IMF by EMD decomposition

4.3 与EMD分解的对比分析

采用EMD算法对上述内圈故障信号w(t)进行分析。取前3个对故障特征提取影响较大的本征模态函数进行分析，这 3个IMF的时域波形与频谱如图8、图9所示。

图9 EMD分解的前3个IMF分量的包络谱Fig.9 The envelop spectrum of the first three IMF by EMD decomposition

由图8可知,与VMD分解得到的IMF相比，EMD分解得到的IMF分量会出现频谱混叠，不同分量之间频带相差不明显，而且会相互影响。

在图9 EMD分解的IMF包络谱中，可在故障特征频率160.5 Hz、转频30 Hz及其三倍频88.5 Hz处观测到较为明显的幅值，验证了本文提出方法在故障特征提取时的准确性。但与VMD分解得到的包络谱相比，故障特征频率被大量无关频带包围，不利于故障特征的识别，突出了本文提出方法的优越性。

5 结 论

针对轴承故障信号所在频带不易选择和易受噪声干扰的问题，提出了基于变分模态分解(VMD)和奇异值分解降噪的轴承故障特征提取方法。该方法通过对振动信号进行VMD分解获得本征模态函数，利用峭度指标对包含故障信息的本征模态函数进行选择，有效解决了共振解调提取故障频率时最优频带的选择问题。经过SVD降噪，去除了背景噪声的干扰。最后对降噪信号进行包络解调提取故障特征，取得了良好的效果。

[1] 陈雪峰，李继猛，程航，等. 风力发电机状态监测和故障诊断技术的研究与进展[J].机械工程学报,2011，47(9)：45-52． CHEN Xuefeng，LI Jimeng，CHENG Hang， et al．Research and application of condition monitoring and fault diagnosis technology in wind turbines [J]．Power System Technology，2011，47(9)：45-52．

[2] 周智，朱永生，张优云，等. 基于EEMD和共振解调的滚动轴承自适应故障诊断[J]. 振动与冲击,2013，32(2)：76-80. ZHOU Zhi，ZHU Yongsheng，ZHANG Youyun，et al．Adaptive fault diagnosis of rolling bearings based on EEMD and demodulated resonance [J]．Journal of Vibration and Shock，2013，32(2)：76-80．

[3] 张家凡，易启伟，李季． 复解析小波变换与振动信号包络解调分析[J]. 振动与冲击,2010，29(9)：93-96. ZHANG Jiafan，YI Qiwei，LI Ji．Complex analytic wavelet transform and vibration signals envelope-demodulation analysis[J]．Journal of Vibration and Shock，2010，29(9)：93-96．

[4] 王新晴,马瑞恒,王耀华,等. 基于一种新的时频分布的机械故障诊断[J]. 机械工程学报,2003,39(7):150-153． WANG Xinqing，MA Ruihuan，WANG Yaohua，et al．Mechanical fault diagnosis based on a new time-frequency distribution [J]．Power System Technology，2003，39(7)：150-153．

[5] 马瑞恒，王新晴. 基于一种新的时频分布的机械故障诊断[J]. 振动与冲击,2003，22(3)：59-62. MA Ruihuan，WANG Xinqing．Mechanical fault diagnosis based on a new time-frequency distribution [J]．Journal of Vibration and Shock，2003，22(3)：59-62．

[6] HUANG N E，SHEN Z，LONG S R，et al．The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for non-liner and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society ，1998,(454):903-993.

[7] 朱文龙，周建中，肖剑，等. 独立分量分析-经验模态分解特征提取在水电机组振动信号中的应用[J]. 中国电机工程学报，2013，33(29)：95-101． ZHU Wenlong，ZHOU Jianzhong，XIAO Jian， et al．An ICA-EMD feature extraction method and its application to vibration signals of hydroelectric generating units [J]．Proceedings of the CSEE，2013，33(29)：95-101．

[8] 杨江天，赵明元. 改进双谱和经验模态分解在牵引电机轴承故障诊断中的应用[J]. 中国电机工程学报，2012，32(18)：116-122． YANG Jiangtian，ZHAO Mingyuan， et al．Fault diagnosis of traction motor bearings using modified bispectrum and empirical mode decomposition [J]．Proceedings of the CSEE，2012，32(18)：116-122．

[9] WU Z H，HUANG N E. Ensemble empirical mode decomposition：a noise assisted data analysis method [J]．Advances in Adaptive Data Analysis，2009，1(1)：1-41．

[10] RILLING G，FLANDRIN P．On the influence of sampling on the empirical mode decomposition[C]//Proceedings of IEEE Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing. Toulouse，France，2006．

[11] DRAGOMIRETSKIY K, ZOSSO D．Variational mode decomposition[J]．IEEE Tran on Signal Processing，2014，62(3)：531-544．

[12] 王建国，李健，万旭东. 基于奇异值分解和局域均值分解的滚动轴承故障特征提取方法[J].机械工程学报,2015，51(3)：104-110． WANG Jianguo，LI Jian，WAN Xudong．Fault feature extraction method of rolling bearings based on singular value decomposition and local mean decomposition [J]．Power System Technology，2015，51(3)：104-110．

[13] 汤宝平,蒋永华,张详春. 基于形态奇异值分解和经验模态分解的滚动轴承故障特征提取方法[J]. 机械工程学报,2010，46(5)：37-42. TANG Baoping，JIANG Yonghua，ZHANG Xiangchun．Feature extraction method of rolling bearing fault based on singular value decomposition-morphology filter and empirical mode decomposition[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010，46(5)：37-42．

[14] 赵学智,叶邦彦,陈统坚. 奇异值差分谱理论及其在车床主轴箱故障诊断中的应用[J]. 机械工程学报,2010，46(1):100-108. ZHAO Xuezhi，YE Bangyan，CHEN Tongjian．Difference spectrum theory of singular value and its application to the fault diagnosis of headstock of lathe[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010，46(1)：100-108．

[15] 苏文胜，王奉涛，张志新，等．EMD 降噪和谱峭度法在滚动轴承早期故障诊断中的应用[J]．振动与冲击，2010，29(3)：18-21. SU Wensheng，WANG Fengtao，ZHANG Zhixin，et al．Application of EMD denoising and spectral kurtosis in early fault diagnosis of rolling element bearings [J]．Journal of Vibration and Shock，2010，29(3)：18-21．

[16] 胡爱军，马万里，唐贵基．基于集成经验模态分解和峭度准则的滚动轴承故障特征提取方[J]．中国电机工程学报，2012，32(11)：106-111． HU Aijun，MA Wanli，TANG Guiji．An ICA-EMD feature extraction method and its application to vibration signals of hydroelectric generating units [J]．Proceedings of the CSEE，2012，32(11)：106-111．

Fault feature extraction of bearing faults based on singular value decomposition and variational modal decomposition

ZHAO Hongshan, GUO Shuangwei, GAO Duo

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

In order to extract fault features of rolling bearings effectively, a method based on variational mode decomposition and singular value decomposition was proposed. The Intrinsic Mode Function (IMF) was obtained by variational mode decomposition. The IMF containing fault information was selected to reconstruct the signal according to the index of kurtosis. The singular value decomposition was used to reduce noise and increase the ratio of signal-to-noise. Then the fault features were extracted by using envelope spectrum analysis. Compared with common fault features extraction methods, the proposed method can distinguish typical faults, highlight fault features and improve diagnostic effect.

variational mode decomposition; singular value decomposition; rolling bearing; fault features extraction

国家自然科学基金项目(51277074)

2015-08-13 修改稿收到日期：2015-11-18

赵洪山 男，博士，教授，1965年生

郭双伟 男，硕士，1989年生

TH17

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.027