“谬误”纠偏求真谛

【摘 要】 中学生在数学学习和解题过程中的“谬误”主要有似是而非假乱真、生搬硬套模仿秀、偷龙转凤调包计等。本文依据归因理论剖析学生解题错误成因，探求排障对策，以期提升学生思辨能力，规划导学组合。

【关键词】 中学生;数学学习;谬误纠偏;归因;导学组合;思辨提升

中学各门文化课的教学方式和应用取向都有所侧重，有学科各自独特的教育理念和功能定位。春兰秋菊，各有千秋。

数学不仅是科学的工具，而且更具备文化价值。中学数学教学的思维训练对促进学生大脑的全面发展，形成健全的人格和优良的思维品质无可替代。

中学数学，主要有两大类分支：“代数”与“几何”。代数中知识琐碎繁杂，多种概念交织。思辨无处不在：仅负号和括号就贯穿于解题过程的始末。从整式、分式、根式等运算中，当学习各类方程的解法时，或讨论函数的变异之处，不断提升着学生的思辨能力。

几何的推理论证，用文字、图形、符号等数学语言进行连续的转换。多角度、全方位的展示了数学的魅力！无论是由因导果还是执果索因，最终确立的是题设与结论逻辑上的必然联系。通过系列证明题的训练，使学生逐渐形成解题思路，逐步做到答题规范，不断提高逻辑推理能力。

归因是指观察者为预测和评价观察对象的行为，并对其行为过程进行的因果解释。这种先觉者能追溯、推断和解释因果的理论称之为归因理论。属于社会心理学的动机激励理论范畴。其核心是从事件的行为结果追溯主因，使准确预测后继行为成为可能。

归因理论的鼻祖当属美国心理学家海德。后经社会心理学家韦纳等以实证研究充实和发展。韦纳对影响行为结果的原因特性、原因结构等都提出了独创性的见解。构建了原因源×稳定性×控制性的归因三维结构模式。他认为任何一项原因都可从运行维度进行定性分析。

在教学中，教师凭经验往往能推测学生将出现一些预知的解题谬误。有时甚至故意布设陷阱与圈套，让学生在不知不觉中发生错误的解答。直至无法理解的荒唐结论出现，致使学生们大惑不解！此时他们急想知道解题中产生错误的隐蔽原因，因而激发出学生们探究真理的欲望。

研究学生在解题过程中消极的归因倾向，反而具备积极的警示功能！

数学教学理当培养学生的逻辑推理和思辨能力。中学生数学解题差错不时发生。学生解题过程中的“谬误纠偏”教学，在于教师的导引，对学生逻辑思维能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。是训练学生大脑的体操。

在教学实践中，把“谬误纠偏”作为导学组合中的一个元素，确实对提高学生的思辨能力是行之有效的。

古人云：“授人以鱼，只供一饭之需，教人以渔，则终身受用无穷。”

教师常挖掘一些解题“谬误”的反面教材，让学生辨析纠正后印象更深刻。学生出现错误的解答信息，都是教师题库中宝贵的教学资源，应当充分利用。帮助学生寻找解题错因，在警示作用下学到正确的解法，这是值得探讨的课题！

失败乃成功之母，谬误为真理先导！

学生解题谬误五花八门，有必要分类剖析题目错解的成因。（一、似是而非假乱真;二、生搬硬套模仿秀;三、偷龙转凤调包计）进而探求排障对策，提升思辨能力，规划导学组合。

一、似是而非假乱真

中学数学新概念不断。形式可用文字、符号、公式、性质、定义、公理、定理等呈现。数学概念反映的是“数”与“形”的本质特征。它具有类同性、排它性、抽象性、发展性等特点。而有的学生受旧概念思维定势的影响，似是而非假乱真。此类谬误在学生解题过程中层出不穷，通常有下述表现：

1、混淆概念的内涵

如，倒数与相反数，前者是分子与分母倒置，后者是正负符号相左。乘方与幂，表示运算过程与运算结果的区别。差的平方与平方差，在于运算顺序不同。直角与90°，前者是角的名称，后者是角度的量数。三角形对边与对应边反映的是同一三角形的边角关系与不同三角形的边与边的关系。相似形与位似形，表示图形同为相似形但位似形位置特殊。一元二次方程与二次函数，前者只是函数变量的值等于零时的特殊类型。

在概率论中，排列与组合，要看问题是否和顺序有关。如：甲乙两人排队，有甲乙、乙甲两种不同顺序的站法，所以排列有A（2，2）=2种。再如：从甲乙两个球中选2个，和取球的先后顺序无关，所以组合有C（2，2）=1种。

对立事件与互拆事件：对立事件是试验结果的非此即彼;而互斥事件只是不会同时发生。比如：掷骰子，正面朝上是1和非1，这两事件是对立事件;而正面朝上是1和正面朝上是2则是互斥事件。对立事件一定是互斥事件（因不能同时发生），但互斥事件则不一定是对立事件。

2、无视概念的扩充

概念是最基本的思维形式，命题由概念构成。正确地理解概念，是学生掌握数学知识的前提。因此，数学的概念教学不可忽视。关于“数系”的扩充，是在历史长河中逐步演变的。人类从认识自然数始，逐步扩展至算术数、分数、有理数、实数、复数…构筑了现代的代数体系。如在实数范围内和在复数范围内因式分解的结果是不同的。

概念具有确定性与扩充性，教师应告知学生数学概念是相对真理。随着年级的升高和知识的累积，概念的内涵和外延都会变化。若受旧概念思维定势的束缚，无视概念的扩充，则解题必将出错。如 “角”概念的扩充：最初仅限于平角、周角。当高中时把角扩展到任意角之后，还经常有学生认为第一象限的角都是锐角，认识还停留在旧概念上。

3、联想产生负迁移

联想的负迁移，即用旧知识老办法解决新问题。如，由（xy）2=x2y2联想得（a+b）2=a2+b2;由=4联想得a8÷a2=a4;由a（m+n）=am+an联想得sin（a+b）=sina+sinb等，都是联想的负迁移所致。

因此，教师需多进行概念的比较教学设计。

例如：对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（C）

A.点（-1，6）在它的图象上

B.自变量的取值范围是x≠0

C.当x<0时，y随x的增大而减小

D.当x>0时，y随x的增大而增大

反比例函数的图象称为“双曲线”。函数y=图象的两支分布在二、四两个象限内。此选项极具隐蔽性，布设了陷阱：当x<0时，y随x的增大而减小。殊知，只要是k<0双曲线的两支分布在二、四象限。在每个象限内，都是y随x的增大而增大。这是反比例函数无可争议的性质。因此，不正确地说法为（C）。这里是把k<0与x<0进行了概念联想负迁移。

要对概念多质疑问难，捕捉新概念中的变异，消除错误的联想产生的负迁移。澄清模糊认识，帮助学生解惑，作为教师责无旁贷。

二、生搬硬套模仿秀

在“三角函数”一章中，有近二十个诱导公式。如果死记硬背这些公式，抓不住本质（符号问题），极易出现生搬硬套的差错。

总结诱导公式的规律，教给学生一句口诀：“纵变横不变，符号看象限”。比如，用错公式cos（-α）=cosα的概率是很大的。常见下面类型的错解：

cos（-2π/3）=- cos（2π/3）=- cos（π-π/3）= cosπ/3=1/2

第一步就不假思索、生搬硬套用错了公式sin（-α）=-sinα

正确的解法应是：

cos（-2π/3）=cos（2π/3）= cos（π-π/3）=-cosπ/3=-1/2

在二次函数的教学中，有关符号的方向性意义应得到充分的重视：如：

抛物线y=（x+2）2-3由抛物线y=x2平移得到，下列平移正确的是 （D）

A. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

B. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

C. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

D. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

观察力是思维的起点，学生对题中符号的观察无疑是第一反应。从算术数扩展至有理数的学习，学生处处受到“负数”及“减号”的困扰。由于数轴的方向性指引，形成了顽固的思维定势，生搬硬套使此题的解答正确率低。而此题正确的选项却是（D），令学生百思不得其解，教师破解时颇费周折！

三、偷龙转凤调包计

从三角形全等的判定方法始，学生开始接触几何证明题规范的书写格式，关注题设与结论的因果关系。三角形全等中系统的判定方法是平面几何证明的重要内容，在几何证明中有着广泛的应用。一般三角形全等有四条判定方法：“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”。此模型提供了明确的因果关系。在许多题中，给定的题设及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们细致的观察、认真地分析。根据图形的结构特征，挖掘潜在因素.把学生的探究进一步引向深入。

例1.如图，若点D在AB上，点E在AC上且∠AEB=∠ADC则无法判定△ABE≌△ACD的条件是 （ ）

A.AD=AEB.AB=ACC.∠B=∠CD.BE=CD

图形隐含的条件是公共角∠A。考虑各组判定方法的条件必考虑此公共角。此题有已知条件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再选择∠B=∠C，由条件“角角角”并不能判定三角形全等！经过后面的学习才知“角角角”只能判三角形相似。

任何数学命题均由条件与结论构成。学生在解题时忽略条件，重视结论的现象普遍存在。其实，结论是在特定的条件下才产生的。对条件既不能遗漏，也不能外加;对条件存在的范围既不能缩小，也不能扩大。更不能把一般的条件特殊化。

要善于在审题时发现隐蔽条件，而这样的条件极易被忽视。

为加深学生对数学概念及定理的理解，教师往往精选一些相关的题型巩固教学成果。如例2是反比例函数自变量值的大小的比较题：

例2.已知（x1，y1），（x3，y3），（x3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，且y1>y2>y3，则x1，x2，x3的大小关系是 （ ）

A.x3>x2>x1B.x1>x2>x3C.x3>x1>x2D.x1>x3>x2

我们知道双曲线的图象是断开的。两个已知条件表明双曲线在第二象限。若已知点的纵坐标符号不同就无法比较。即不能失去“在每个象限内”的前提。若丢弃此前提，实际上就实施了偷龙转凤调包计。

习题错解警示：对概念当理解本质，对结果要追本穷源，对知识须灵活运用。

在学生五花八门的解题乱象中，对症下药，从谬误中求真谛，是教学的必要一环！

数学已然不是数字的运算了，它的触角涉及广泛：从整式的乘法与因式分解的互逆;由各类方程到不等式，把等量关系扩至不等关系;函数又让数学由静态转为动态。数学世界，真是别有洞天！点动成线、线动成面、面动成体，大千世界处处皆几何;三角形、矩形、菱形、圆形…，图中的逻辑关系，阐明没有规矩不成方圆的社会铁律！

德国教育家第多斯惠精辟的指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于唤醒、鼓舞和激励”。三尺讲台，数学教师任重而道远。课堂上我们激发灵感、点燃学生智慧的火花。备课时我们致力于题型的发掘、教法的研究，为提升学生智能殚精竭虑。社会在发展，教研无止尽。主流还需引导学生积极的归因动机。以导激学、以学促智。教学中拟进一步开展的定向探讨：

迷惑型，挖掘学生批判选择的能力。

类比型，训练学生举一反三的能力。

发散型，引导学生求异创新的能力。

【参考文献】

[1] 焦忠安，谈数学教学中思维能力的培养，教学月刊>（中学理科版），2000.5.

[2] 张小平，归因理论及其在高中数学教学中的应用，数学教学研究，2008.7.

[3] 朱炳炎，浅谈中学数学中纠错习惯的培养，中国科教创新导刊，2013.18.

【作者简介】

汪利文，任职于浙江体育职业技术学院，中学数学高级教师.