经典问题有新意，命题教学双引领
——由清华附中初三上学期月考压轴题说起

☉江苏省扬州市邗江实验学校 刘黎铭

经典问题有新意，命题教学双引领
——由清华附中初三上学期月考压轴题说起

☉江苏省扬州市邗江实验学校 刘黎铭

在当下月考制度是很多学校一项教学常规之时，不少月考卷的质量低下也常常成为人们评论的热点，而在一些重点学校往往比较重视校级层面的命题与审题工作，而且能有一两道把关题精心设计，推陈出新，既有效检测了学生近期学习的效果，又引导着数学知识的前后关联.本文关注一道北京清华附中初三月考题，先给出解题思路，再跟进命题和教学思考，提供研讨.

一、考题及思路突破

考题（2016～2017学年北京清华附中初三12月份月考卷）如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点（不与B、C重合），线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于M，N两点，AP交MN于E点.

（1）求证：MN=AP；

（2）如图2，连接DB，交MN于点Q，求证：EQ=ME+NQ.

图1

图2

思路简述：（1）这是关于正方形的一类经典问题，在图1中，AP⊥MN时，一定能证出AP=MN.构造全等三角形可实现证明，具体说，有如下两种构造全等的方法，如图3、图4.

图3

图4

在图3中，证明△ABP≌△DAG，可得DG=MN=AP；在图4中，证明△ABP≌NGM，MN=AP.

（2）这个待证的结论比较奇异，要实现证明需要较强的几何构造能力.切入点是利用正方形的轴对称性质、线段垂直平分线性质，以及上一问的结论MN=AP.

构造图5，容易发现本题的深层结构，根据正方形的轴对称性质有QA=QC，根据MN垂直平分AP，有QA=QP，容易发现A，P，C三点均在圆Q上，此时结合同弧所对的圆周角是圆心角2倍，有∠AQP=2∠ACB=90°，所以△APQ是等腰直角三角形.而QE⊥AP，根据三线合一，有QE=AP，等量代换……