多因素影响的易变质品利润最优组合策略研究

徐文婷 徐丽群

（上海交通大学安泰经济与管理学院，上海 200030）

多因素影响的易变质品利润最优组合策略研究

徐文婷 徐丽群

（上海交通大学安泰经济与管理学院，上海 200030）

针对易变质商品，考虑需求依赖于销售价格与营销效用水平，研究了单个企业的定价、补货周期、保鲜投入及动态营销投入联合决策问题。首先建立目标企业的单位时间利润模型，其次通过解决最优控制问题确定动态营销投入函数，并利用三维搜索方法得到目标函数的近优解。最后进行数值实验，验证了模型的有效性并分析相关参数的灵敏度。数值实验表明，商品初始变质率、营销成本系数和补货成本增加会引起最优保鲜投入的增加，企业资金上限的增加最终会提高补货周期内的单位时间总利润。

易变质商品；保鲜投入；营销投入；最优定价；补货周期

1 问题描述与模型假设

1.1 问题描述

本文研究的是一个生产加工并销售单一易变质食品如蛋糕饼干类零食、新鲜瓜果的电商平台初创企业的利润最优策略问题。企业处于起步阶段，需要投入营销支出以增加市场需求；同时由于其商品具备易变质的特点，需要投入保鲜技术投资即本文的保鲜包装投入以降低变质率。由于企业资金资源有限，需要同时考虑保鲜包装投入和营销投入，找到最优的投资组合，并确定最优的价格和补货周期，实现补货周期内的单位时间总利润最优。具体的联合决策关系如图1所示。

图1 企业的定价、补货及投资联合决策关系图

1.2 模型假设

为了便于分析，进行如下几个假设：

1.该库存系统针对一种无限计划周期的易变质食品，且在每个周期不存在退换货情况。

2.零售商瞬间补货，供给提前期为0，且不允许缺货。

3.企业投入保鲜支出，由此控制的变质率系数θ(μ)是关于保鲜包装投入μ的连续凸函数。

4.生产易变质商品后变质情况随时发生。

具体符号说明如下：

K：单位订单的补货成本；

c：企业生产单位商品的生产成本；

w：企业在单位时间的单位库存成本；

Q：每一周期开始阶段的生产批量；

T：补货周期；

p：商品的单位销售价格，其中p＞c；

I(t)：商品在t时刻的库存水平；

λ：企业在补货周期内的单位时间营销投入；

m(t)：企业在时刻为增加市场需求而投入的营销努力，其中m(t)＞0；

M(t)：营销投入产生的营销努力水平；

μ：企业在补货周期内的单位时间保鲜包装投入，其中μ≥0；

θ(μ)：企业投入保鲜支出后商品的变质率；

a：商品的市场基本需求；

β：商品需求对价格的敏感性系数；

γ：营销投入推动销售额的系数；

α：营销投入效用水平的衰减率；

R：企业的资金上限；

Π：企业在单个补货周期内的单位时间总利润。

2 模型的建立和求解

2.1 模型的建立

企业在单个补货周期[0,T]销售易变质商品，确定商品的价格p，并通过营销投入λ以控制营销努力水平M(t)，影响商品的市场需求D(p,M(t))。根据Jørgensen可得到k为反映营销投入边际成本的正数参数，而企业的营销努力m(t)可以提高营销努力水平M(t)，参考Zhang，假设满足下式：

根据Netessine需求函数可定义为：

企业同时为了延长商品的新鲜程度，投入单位商品保鲜包装成本μ以降低商品变质率，企业投入保鲜支出后商品的变质率θ(μ)=θ0e-gμ, g≥0。由于商品在生产后变质随时发生，假设库存的变质情况与库存量成一定比例，即为θ(μ)I。在每一个周期内，商品的库存随着顾客需求以及部分商品的变质而逐渐减少，在周期结束时降为0。即企业的每一补货周期的库存变化为：

根据符号和假设，将本文研究的企业单位时间利润最优问题描述为：

2.2 模型的求解

2.2.1 动态营销努力的求解

该问题可从解决最优控制问题开始，假设其他变量为定值，先对动态营销努力m(t)进行求解。构建哈密尔顿函数如下：

当该函数取得最大值记为H*，可知对应的影子价格λ1(t)和λ2(t)分别满足以下伴随方程：

另外，根据M(T)和I(0)不受限制，可得到对应的横截条件为λ1(0)=0，λ2(T)=0。将横截条件作为边界条件，可确定动态规划问题的解和对应哈密尔顿函数为：

其中λ1和λ2满足：

对于最优m*(t)，满足H(m*(t),M(t),I(t),λ1,λ2)≥H(m(t), M(t), I(t), λ1,λ2)

命题1：当企业的商品定价、保鲜投入，以及补货周期一定时，其动态的营销努力由下式决定：

推论1：当μ,T一定时，最优营销努力m*与[t1,t2)呈现正相关的关系，即最优营销努力随着商品价格的增加而增加。另外，当m*(t)＞0恒成立；当(t)=0。

证明1：当t∈[t1,t2)时，对（10）求偏导可知最优营销努力m*与p呈现正相关的关系。证明2：对λ2(t)求导，可知当λ2'=0时，可得易证λ2(t)在t∈[0， t*]单调递减，在t≥t*单调递增，即λ2(t)最小值为λ2(t*)。当t*≥T，可得λ2(t)在t∈[0，T]单调递减且λ2(T)=0，此时可得另外，当λ2(0)≤0：时可得证毕。

现实中，当商品的价格越来越高，其利润高但市场需求量减少，激励企业进行营销投入以刺激市场需求和增加利润；反之，当商品价格足够小时，市场需求足够大，则无需投入营销支出。

推论2：当μ,p一定时，最优营销努力m*与T在[t1,t2)呈现负相关的关系，即最优营销努力随着商品的补货周期的增加而减少。证明略。

现实中，当具有易变质特性的商品的补货周期越短，其激励商家投入营销支出以增加市场需求量并尽快卖出商品，以实现瞬时可变利润最大；反之，当T越长，商家为维持瞬时可变利润最大而倾向减少营销投入。

由（1）（3）和（9）和I(T)=0，Q=I(0)可依次得出M(t)和I(t)和Q，表达式如下：

最终，式（4）的优化问题简化成如下优化问题：

2.2.2 最优定价、补货周期及保鲜投入的求解

由于目标函数（15）涉及3个变量，无法简单通过数学一阶求导求解出使得Π最大的最优解(p,T,μ)，因此采用三维搜索算法。算法步骤如下：

Step 1：i=0时，令p0,μ0,T0取随机初值，精度参数ε＞0。

Step 2：对于给定的p0,μ0,T0，寻找最优的m(t),M(t), I(t)和Q。运用三维搜索算法计算实现（15）最大的(pi, μi, Ti)，相应的单位时间总利润为Πi(pi,μi,Ti)。

Step 3：当Πi+1(μi+1, pi+1,Ti+1)-Πi(μi, pi, Ti)≤ε，获得最优解μ*=μi+1，p*=pi+1，T*=Ti+1。算法结束，否则转至Step 2。

3 最优组合策略及敏感性分析

3.1 最优组合策略

针对本文研究的易变质商品的利润目标进行数值分析，以验证模型和算法的应用性和有效性，并对相关参数进行敏感性分析。具体参数值见表1。利用表中的数据，进行三维搜索求解。由式(12)-(15)得到该算例的最优解(p*,T*,μ*)=(13.429, 0.4575,36.51)，最优生产量为80.666，目标函数解为1353.2。

表1 各参数赋值

3.2 参数敏感性分析

在最优组合策略解的基础上，对主要参数进行敏感性分析，每次只改变一个参数，且改变每个参数值的幅度为-30%，-15%，15%，30%，求解对应的最优解(p*,T*,μ*)以及Q和π*的变化率，以便观察参数变化的影响。结果如图2-图5所示。

图2 初始变质率θ 0对最优策略的影响(%)

从图2可以看出，随着初始变质率θ0的增加，最优的p*,T*,Q*下降，μ*上升，另外企业补货周期内的最优单位时间总利润Π*下降，反之亦然。该结果表明企业在商品初始变质率偏大的情况下，为了控制变质损失往往会减少生产量并更多地进行保鲜投入。启发企业：在易变质商品初始变质率较大的情况下，应该采取小批量多频次生产，同时增加保鲜投入，以降低周期内的商品变质损失；另外降低销售价格以增加市场需求，降低库存和损耗。

图3 保鲜投入效率系数g对最优策略的影响(%)

从图3可以看出，随着保鲜投入效率系数g的增加，最优的p*先降后升，T*,Q上升，μ*先升后降，另外企业补货周期内的最优单位时间总利润Π*上升。该结果表明，过低或过高的保鲜投资效率都会抑制企业的保鲜投入。保鲜投资效率过低意味着单位商品的边际成本过高，而保鲜投资效率过高则表示商品变质率足够低，企业在这两种情况下均会选择提高商品价格。另外，保鲜投入效率越高，补货周期相应越长，最优的单位时间总利润Π*越大。

图4 营销成本系数k对最优策略的影响(%)

从图4可以看出，随着营销成本系数k的增加，最优的p*，T*，Q下降，μ*缓慢上升，另外企业补货周期内的单位时间总利润Π*减少。该结果表明，当企业面临营销投入边际成本增加时，会偏向于投入保鲜支出而非营销投入，最优补货周期T*相应延长；而增加的营销成本也导致最优的单位时间总利润Π*减少。

图5 补货成本K对最优策略的影响(%)

从图5可以看出，随着补货成本K的增加，最优的p*，T*，μ*，Q均上升，而企业补货周期内的最优单位时间总利润Π*减少。该结果表明，当企业面临较高的补货成本，一方面会选择在一个周期内提高生产批量以降低生产频次和减少补货成本，并增加保鲜包装投入以降低商品变质率，进而拉长补货周期；另一方面企业倾向抬高价格来弥补补货成本增加导致的利润损失。尽管如此，企业最优的单位时间总利润Π*降低。

3.3 对最优解的影响

从表2可以看出，随着企业资金上限R的增加，最优的p*，T*，μ*，Q均上升，最优的单位时间总利润Π*也相应增加。在现实中，当资金上限增加时，企业可以在一个补货周期内生产更多的商品并增加保鲜包装支出，从而延长补货周期，企业也能够提高销售价格，最终增加最优的单位时间总利润Π*。

表2 资源上限R对最优策略的影响

4 结语

本文考虑了易变质品的定价、补货周期、保鲜和动态营销投入联合决策问题，其中需求依赖于商品价格和营销投入，商品变质率与保鲜投入相关，建立了动态营销努力决策模型，并在此基础上利用三维算法来得到最优联合决策。最后通过数值算例计算出最优决策，并给出主要参数的敏感性分析，得到以下结论：

随着商品初始变质率的增加，企业可采取小批量多频次生产，同时增加保鲜投入，以降低周期内的商品变质损失；另外可以降价来增加市场需求，降低库存和损耗。随着保鲜投入效率系数的增加，企业可以延长补货周期并增加生产量，获得更高的单位时间总利润；另一方面，保鲜投资效率无论过低或过高，都会抑制企业的保鲜投入并促使企业提高商品价格。随着营销成本系数的增加，企业可转而增加保鲜投入，延长补货周期，同时采取降价策略以增加市场需求，弥补营销投入过高对利润的影响。随着商品补货成本的增加，企业需要增加生产量来降低补货频次并降低单位时间补货成本，同时增加保鲜包装投入来降低商品变质率，并提高商品价格来弥补补货成本上升带来的利润损失。随着企业资金上限的增加，企业可以投入更多保鲜包装支出以及营销支出，同时增加生产量、延长补货周期并提高价格，获得更高的单位时间总利润。

本文未考虑缺货的情况，而现实中缺货情况是很常见的。另外本文的保鲜投入是固定的，而现实中保鲜投入往往随着时间推移而改变。未来可进一步研究考虑缺货情况下的联合决策问题，同时也可以考虑研究动态保鲜投入的库存系统。

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The Optimal Portfolio Strategy Study on Perishable Product Profi t under Multifactor Infl uence

Xu Wenting Xu Liqun

This paper considers a joint pricing, replenishment, preservation technology investment and dynamic marketing investment decision problem for deteriorating items with price and marketing level sensitive demand rate. First establish a total profi t per unit time model, second determine dynamic marketing investment policy for given selling price, replenishment cycle and preservation technology cost, and then design a three-dimensional search algorithm to find the optimal solutions. Finally, a numerical example is given to illustrate the effectiveness of models and further analyze the sensitivity of relevant parameters. The result shows that the optimal preservation technology investment will increase while basic deterioration rate, marketing investment coeffi cient and replenishment cost grow. Also increased money resource constraint help improve total profit per unit time within a replenishment cycle.

Deteriorating items, preservation technology investment, marketing investment, optimal pricing, replenishment cycle

F275.4

A

1005-9679(2016)06-0044-05

徐文婷，上海交通大学安泰经济与管理学院硕士生，研究方向：工商管理；徐丽群，上海交通大学安泰经济与管理学院教授，博士生导师，研究方向：运营与供应链管理，城市交通管理。