在“破”与“立”中,加深概念理解

2017-01-03 02:01梁燕
教学月刊·小学数学 2016年12期
关键词:模型建构数学概念认知结构

梁燕

【摘 要】人教版教材修订后,“倍”的教学在内容编写上发生了较大的变化,面对这个改变,作为承上启下的一个重点和难点,教师应重新审视、对比教材,调查学情,初步厘清“什么是倍”“为什么要教倍”“如何去教倍”,并在此基础上重新定位教学目标,在“破”与“立”中拓展表征概念的空间,重视构建“倍”的认知结构,从而更好地体现和丰富“倍”的内涵。

【关键词】破与立 数学概念 认知结构 模型建构

人教版“倍”的教学将原来分散在二年级上册的内容后移至三年级上册,安排在一个单元进行教学,“倍的认识”看似独立为一课难度降低了不少,但依然是一个难点。因为认识“倍”是学生从“加法结构”到“乘法结构”的一次质的转化,而认知结构的转变是学生学习的最大困难;另外“倍”的概念涉及两个量的比较,十分抽象且不易理解,单纯的告知学生只是停留在模仿阶段,“倍的认识”这节课是学生认识“倍”概念的起始课,从“倍”开始,学生数学认知的脚步算是踏进了“率”的大门,同时这也是一节种子课,这节课概念建构扎实与否将影响本单元解决问题的学习,也为后续学习分数、比、百分数等的内容提供基础模型。如何帮助学生建立“倍”的直观模型,认识“倍”概念的本质特征,如何理解用倍表达数量之间关系的价值和必要性,如何选择学习材料,最终让学生更清晰地建构“倍”的概念,带着这些问题,我们深入理解,重新思考。

一、剖析认知结构,精准设定教学目标

学生为什么需要学“倍”呢?“初步认识”只是停留在初步较浅层面吗?“倍”的知识点在整个教材体系中又有何作用呢?带着这样的思考,我们对教材的例题、习题及复习内容进行研读,也分析不同版本的设计,收集杂志上的文章等,形成了简要的综述,使我们对教材的编排意图与教学目标逐渐清晰起来。

从目前的研究来看,刘加霞教授认为“倍”是从加法结构到乘法结构的转折点。乘法结构不是指单一的认识乘法,而是一个概念体系,基本概念是乘法与除法,与之相关的有倍、最大公因数、最小公倍数、运算律及面积、体积、速度等概念和定律。这样看来,我们既可以从乘法结构聚焦到“倍的认识”,也可以从“倍的认识”辐射到乘法结构。

从众多发表的文章中梳理,我们可以发现许多教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式,其核心是用一个量去刻画另一个量,“倍”代表着两个数量间的比较关系。我们更倾向认为“倍”是刻画两个量之间关系的众多表达方式中的一种,“倍”是学生在刻画两个量之间关系的时候,第一次从绝对数量的比多少到相对数量关系比较的转变,这对学生即将接触到的分数、百分数、比甚至以后的函数等内容的学习,起着至关重要的作用。我们认为这和其他的刻画方式属于不同地位,所以一方面要与众多的刻画方式建立起联系,另一方面又要将“关系系统扩容”,将“倍”特有的刻画方式准确地纳入到表达关系的这一知识体系当中,因此我们在教学中有意识地作了关注。

二、拓展表征空间,合理选择教学方法

有清晰的目标引导,那么我们可以根据倍的概念以及学生的认知结构去选择教学材料了。我们觉得要关注以下几点。

(一)情境的切入需要认知冲突产生不平衡

“倍的认识”一课,人教版教科书则是让学生在用小棒拼摆图形的过程中建立“倍”的概念。在实际教学中,尝试了多种情境创设,教师进一步将教材中的情境转换成各种各样有趣的情境,如以猜数游戏引入,有的利用拍手歌激趣,有的引导学生从动手摆不同颜色的图片中发现数量关系的问题,有的让学生比较不同事物的数量关系或比较物体的长度关系,有的创设挑战三个卡通人物带来的数学问题的情境……多数教师把“倍”看成是刻画两个量之间关系的一种表达方式,因此教师往往从研究关系入手,直接告知学生“倍”的关系。也有教师在教学时先出示3个红圆片、3个黄圆片,问学生两种圆片的数量有怎样的关系,然后增加3个黄圆片,再让学生说一说3个红圆片和6个黄圆片之间又有怎样的关系。学生会最先发现多少的关系,然后教师就过渡到了倍的关系。

我们还尝试了“魔盒”情境,如下图。今天老师还给你们带来了一个魔术盒,想不想看?(出示盒子)这可不是一般的盒子,它可是有魔力的哦!仔细观察,再想一想,如果放进去4个黑圆片,出来的会是什么呢?请你在练习纸上画一画。

像这样黑子有4颗,白子有3个4颗,我们就说白子的个数是黑子的3倍。这就是我们今天要学习的“倍的认识”。

我们认为这样的设计学生试图在寻找规律,创设这样的情境,也不足以使学生打破原有的认知中关于加法的结构。如何设计具有推陈出新的情境达到破与立的效果呢?我们认为让学生的思维结构从加法结构上升到乘法结构,情境需要产生认知冲突,产生了认知需求的不平衡才有利于结构重建(详见第三部分我们的设计)。

(二)建立认知结构需要对比与抽象

“概念形成需要这样的过程,即建立完整表象之后抽象为概念,实现抽象概念后在思维过程中的又能具体再现。”那么比较是我们教学时采用的重要手段。在学生通过动手操作等手段初步认识“倍”后,如何让学生进一步理解“倍”的概念呢?这就需要我们引导学生在不断对比与抽象中,舍弃“倍”的各种非本质特征,在变化中抓住“不变”,而这“不变”就是“倍”的本质。我们在教学中设计多个比较的环节,如“一份数在变,几份数也在变,倍数却不变”等情境,通过比较引导学生逐步明晰和把握概念的本质,使他们的认知和理解不断深入。

三、分析概念“内涵”,科学设置教学环节

据此我们认为,对“倍”的认识,应该是一种的新关系的认识,是对关系概念的扩展,两种量不仅表示数量的相差,还可以表示份数多少的关系,我们要帮助学生完成对“关系”系统的重构。我们厘清了“倍”的定位,站在“关系系统重构”的高度,确定整体的教学方向。

定位了课的教学目标、充实概念理解的材料之后,还得在各环节教学中落实。如何将“倍”的含义分解到新知学习—练习巩固—总结延伸等教学环节形成教学链,我们进行了如下设计。

(一)新知学习环节,破与立中建表象

从认知心理学看,“理解某个东西是指将它纳入一个恰当的图式”。图式就是一组相互联结的概念,图式越丰富,就越能处理相关的变式情境。要让学生建立“倍”的丰富图式,可对“倍”的意义进行如下统整。

这两幅图中隐藏着什么秘密呢?根据前面两幅图的规律,猜猜第二行老师会怎么画呢?有想法了吗?把它画在你的纸上。

反馈交流时,先反馈从比多少的角度画的情况,再着重反馈从“倍”的角度画的情况。以三个承接性的问题“你一圈我们就看懂你的想法,为什么4个一圈啊?现在你发现三幅图中蕴含的一个共同的秘密了吗?3倍,哪里看出都是3倍?”为引导,在寻找共同点中揭示倍概念。抽象出倍模型的环节,是破加法结构后建立乘法结构过程中较为关键的一步,可以这样进行:

框里可以画几个?学生说可以有很多个,只要每个框里一样多。教师追问:第二行拿掉1份,现在是( )倍,再拿掉1份呢?增加1份呢,再增加2份呢?现在谁能说说为什么是5倍?学生:第一行有1份,第二行有这样的5份,那么就说第二行的个数是第一行的5倍。

丰富模型建立表象的新知学习统整,我们先破学生认知中的“加法结构”,学生惊奇地发现,还有“份”的关系藏在其中;接着从三幅图中去寻找它们的共同点,让学生认识到三幅图中的数量都是不同的,但是它们之间的关系却都是相同的,再在画一画、圈一圈、指一指、说一说等丰富的活动中让学生初步建构“第一行是1份,第二行有这样的3份”的模型,从而初步建立模型的表象。

(二)核心习题环节,反向构建明标准

概念的核心问题设计,通常要围绕核心知识进行各种变式,在变式训练的过程中,引导学生梳理知识点,通过点、线、面、体,将看似零散的习题组成一个个题组模块,进而在引导学生不断将数学概念知识简约化、模块化、集成化的过程中,逐步完善自己的数学概念认知结构。我们的习题组是这样设计的:

课件出示:圆形的个数是正方形的2倍。

师:一起读一读,能读明白吗?你能不能用一幅图来表示这句话。(学生画图)

从一句话去构建一幅图,这个反向构建的活动是对“倍”概念深化的重要表征。在这个环节中,因为问题情境较开放,学生先要去考虑“1份”(正方形的个数)是多少,再根据“1份”去找“2份”(圆形的个数)。通过“你先画了什么”“你先圈了什么”等问题,让学生知道应该先确定1份数作为参照,再根据1份数去画2份数,让学生感知先确定一份数为标准的重要性,把标准在乘法关系结构中的地位凸显出来。

(三)应用拓展环节,变与不变深化运用

为了让学生有意识地用“倍”的眼光去表达,我们设计数量不同,但是它们之间的关系却是相同的情境。

1.分别说的是哪一幅图

两位小朋友在讨论这两幅图,猜猜他们分别说的是哪一幅图呢?用手势表示。

师:两幅图红萝卜的根数是白萝卜的4倍,你是怎么看出来的?同桌交流一下。

这两位小朋友,你觉得谁说的话最有水平?为什么?

师:红萝卜的根数是白萝卜的4倍,还可以表示红萝卜有几根,白萝卜有几根?

2.把两幅图的意思一起说出来

师:继续接受挑战吗?我们先来看看图的意思,男生有几人?女生有几人?

师:这两幅图的数量是不一样的对吗?想一想你能不能学学刚才聪明的小B说一句话,就能把两幅图的意思都说出来。

师:如果你已经想到了,请你把这句话写下来,如果还不会,请和你的同桌讨论一下。

师:读一读:男生的人数是女生的3倍。

师:你是怎么看出来的,谁上来指一指。

师:很厉害,他先圈了什么?再圈什么?

3.演一演

“男生的人数是女生的3倍”这句话我们现场表示出来,行吗?

A:先请3名女生上来,(思考:这时该上来几位男生呢?)陆续上来3组男生,得出男生是女生的1倍、2倍、3倍。

B:增加1名女生,现在男生是女生的几倍?

C:减少2名女生,现在男生是女生的几倍?

D:剩下一名女生,你能用一句话来说一说吗?

知识点本身是有难度的,变化符合学生学习天性,当学生一听到自己可以创造,学生的积极性被调动起来,显得非常的兴奋。“倍”不是单一的乘法结构,它是乘法意义的拓展与延伸,但同时也包含对除法意义的理解,这无疑会对初次理解“倍”的概念抽取出倍的模型,也很好地运用了模型解决问题。

概念学习是贯穿数学学习始终的,也是一个渐进的过程,只有当学生多角度、多层面地理解了概念,才能够顺利向“形式化定义”的阶段过渡。概念教学任重而道远,我们在设计本课时,在对本课的研究中笔者最大的感触是不能为了教概念而教,而是要清晰地知道概念的来龙去脉,确切把握概念教学课的属性,关注“倍”的产生(比较的需要)、“倍”的意义(亦即内涵)以及获得“倍”概念后的概念运用等。本节概念课设计与创新之处在于,一是在认知结构建立之时采用“先破再立”的手段,使模型更清晰;二是在关注它与后续分数学习的连接点——把谁看作“1份”(标准量)。关注本质,关注联系,综观整体,在“破”与“立”中让概念教学更加扎实而有效。

参考文献:

[1] 刘加霞.从加法结构到乘法结构:“倍”是转折点——评析高丽杰老师的“倍的初步认识”[J].小学教学,2010(7-8).

[2] 顾晓东.基于已有经验的意义关联——“倍的认识”教学反思与改进[J].小学教学参考,2014(1).

(浙江省嘉兴市嘉善县第二实验小学 314100)

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