小学生几何直观能力的培养策略

李星云

数学是研究数量关系和空间形式的科学，图形是其主要表现形式。几何直观是以图形为研究对象进行思考和想象的一种能力，是“图形与几何”的核心目标。除此之外，几何直观也渗透在数与代数、统计与概率、综合与实践等领域。数学知识具有“数”与“形”的双重特征，如函数、度量、解析几何等。只有从数、形两个方面认识数学，才能更好地理解和把握数学的本质，而几何直观就是从“形”的角度展示数学。学生凭借几何直观能力，不仅能够轻松地从运动和变换的角度研究和学习图形的性质，而且可以利用图形研究代数等其他领域的问题。因此，可以说，几何直观是研究和学习数学的重要工具，也是一种基本能力。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）给出了几何直观的定义，并在不同领域对几何直观都提出了相应的要求，数学教师必须深刻理解几何直观的内涵、意义，并思考如何在教学中有效培养学生的几何直观能力。

一、几何直观的内涵

几何直观包括“几何”和“直观”。几何指的是图形；直观包括两层含义，一是直接观察到的事物，二是根据观察到的事物进行想象、思考和综合。由此可知，几何直观的含义是：根据直接观察到的图形进行想象、思考和综合。[1]直观是对数学概念、定义、关系等内容的直接感知和把握。与直觉不同的是，直观需要以逻辑作为支撑，是人在后天学习经验中慢慢积累而成的。《标准》针对几何直观的作用作出了解释性说明：几何直观通过图形描述和分析数学问题，让复杂的问题变得简明、形象，帮助学生直观地理解数学，探究解决问题的思路，预测结果。[2]

实物直观、图形直观、简约符号直观和替代物直观是小学数学中几何直观的四种主要表现形式。[3]实物直观指的是以实物为依托的几何直观能力。与其他类型相比，实物直观是生活中现实存在的，能够比较直观地表达数学关系。比如，小学低年级学生学习20以内的数时，可以借助小棒来理解十进制的含义，小棒就是实物直观。简约符号直观是借助抽象或简约的符号来理解数学知识，如行程问题中的线路图。图形直观是指利用几何图形的直观能力，比如，图1巧妙地运用了3个矩形面积的关系解释乘法分配率的公式：a（b+c）=ab+ac。替代物直观是实物直观、图形直观和简约符号直观的综合，“替代物”既可以是具体实物、几何图形，也可以是抽象的符号，如分数的除法可以利用线段图和符号进行直观理解。

综上所述，图形不仅是数学重点研究的对象，而且是数学研究的得力工具。合理运用图形解决数学问题，一方面可以简化数学对象，帮助学生理解和记忆，另一方面可以帮助学生找到更为直观的解决方法。培养学生的几何直观能力就是要训练学生利用图形解决问题的能力，让学生学会从“形”的视角思考问题、分析问题和解决问题。

二、几何直观的教育价值

（一）化繁为简，增强解决问题的信心

在小学阶段，数学相对于其他学科来说，抽象性和逻辑性比较强，学生对新事物的认知主要依赖具体的实物，再加上小学生的认知水平处于具体运算阶段逐渐向形式运算阶段转变的关键期，因而学好数学的难度比较大。如果利用直观形象的背景以及几何图形，在抽象知识与实际问题之间架起桥梁，那么复杂的数学问题就会变得一目了然，学生也易于理解，进而逐步增强解答难题的信心，并从中体会到学习的愉悦和数学的美感，从而对数学产生兴趣。

例如，货车和客车分别同时从甲、乙两地相对开出，第一次相遇地点离甲地85千米。相遇后两车继续前进，到达目的地后立刻返回，第二次相遇地点离乙地15千米，求甲、乙两地间的距离。该题是两个行程问题的综合，对于初次接触该题型的学生而言，几乎不可能一步到位得出答案。教师若利用线段图（见图2）就能对行程过程进行详细直观的描述，降低题目的难度，学生就能够抓住行程过程的关键点，即客车行驶的路程是甲、乙两地距离的3倍，所用的时间是货车所用时间的3倍。

（二）深化理解，训练逻辑推理能力

教师利用合适的几何模型、图形对数学问题进行描述和解释，有利于打开学生的思路，帮助学生理解抽象的数学概念，透彻理解数学问题。几何直观利用图形或模型对数学概念、定义和公式进行直观的演绎和推导，使分析问题的过程变得更加显性、清晰，有助于提高学生的逻辑思维能力。

例如，盈亏问题是小学阶段的重要题型之一，虽然已经有成型的公式可以套用，只要学生能够判断出属于哪一种类型便可轻松得出答案，但是要让学生真正理解盈亏问题的实质却并不容易，对此，教师可以利用几何直观进行解释分析。举例如下：开学初，某班组织几名学生搬书，若每人搬18本，还有2本没有人搬；若每人搬20本，有1名同学不用搬。请问一共有几名同学去搬书？教师可以引导学生利用画图的形式，对该题进行直观的描述，让学生能够轻松地理解几个变量之间的关系。如图3所示，书的总数和搬书的人数固定不变，实线线段表示书的总数，这样，学生很容易发现前后两次分配的差（20+2=22）是由于每个人多搬了2本书所导致，从而可以直接得出答案是11个人。

（三）提升综合能力，培养创新意识

已有的脑科学研究成果显示：人的左脑主要进行抽象思维，对遇到的问题进行逻辑分析和运算；而右脑则负责形象思维，对问题进行直观形象的分析。只有左右脑协调工作时，才能成功地解决问题。因此，学生凭借直观形象的载体解决实际问题，也是对右脑的开发和利用。在一定程度上，想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力是无限的。从本质上来看，几何直观是利用图形进行想象的一种能力，它不仅有助于学生深入理解问题，而且能够从中找到巧妙的解决方法。在教学中，教师应当有意识地引导学生利用几何直观进行描述和分析，让学生尝试采用数形结合的方法解决数学问题。

例如，通过操作、观察和想象，学生知道将长方形进行平行移动能够得到长方体，将长方体旋转一周能够得到圆柱体。因此，在图形与几何领域，借助几何直观，学生能够知道点动成线、线动成面、面动成体的事实。同时，教师还可以让学生尝试将自己喜欢的图形进行旋转，想象并设计出各种立体图形。学生在不断的尝试和探索过程中，能够逐渐提高解决问题的能力，形成创新的意识。

三、几何直观能力的培养策略

几何直观在图形与几何中发挥着重要的作用，推动着其他领域的学习。图形是几何直观的研究对象与工具，这使得其贯穿于整个图形与几何领域，学生不仅需要认识各种图形及其性质，还需要了解图形的平移、旋转、对称等变换运动，让几何图形学“动”起来是培养学生几何直观能力的有效途径。在相对抽象的数与代数领域，几何直观的运用可以将抽象的数学对象和关系变得显性化，因此，寻找数学对象的直观模型是该领域培养学生直观能力的重要措施。在统计与概率领域，教师利用直观材料进行教学，能够帮助学生在理解统计过程与统计方法的基础上形成数据分析观念。在综合与实践领域，在具体的问题解决活动中，教师可以借助实物直观培养学生的几何直观能力。培养学生的几何直观能力是图形与几何的教学目标之一，而几何直观能力又是影响中小学学生数学能力发展的重要因素，教师必须重视。在课堂教学中培养学生的几何直观能力，教师可从以下几个方面入手。

（一）深刻理解几何直观的内涵

有效培养学生的几何直观能力关键在于两点。第一，教师对几何直观的认识及把握程度。在教学中，教师关于几何直观的知识储备量以及把控能力，直接影响着学生对几何直观的认识和掌握。第二，教师要具有主动培养学生几何直观的意识，善于挖掘学生的几何直观潜质，促进学生的发展。

例如，彩绳每米售价2.5元，购买2米、3米、4米……8米彩绳分别需要多少元？对于熟练掌握小数乘以整数的学生来说，这道题目并不难。当然，教师还可以引导学生用图像说话，进而发现其中的规律，比如利用图像估计购买彩绳所花费的金额，为学习正比例关系做好铺垫。如果教师不具备培养学生几何直观能力的意识，只是让学生用乘法寻求答案，那么就无法充分挖掘这道题目蕴含的深层价值。教师如果具备丰富的几何直观知识，在备课时就会考虑几何直观的教育功能，主动挖掘教材或教学参考书中可以利用的素材，并在教具的选择和习题的安排上充分发挥几何直观的教育功能。

（二）引导学生养成画图的习惯

良好的学习习惯有助于学生形成良好的数学素养。图形是几何直观重要的研究对象与工具，学生养成画图的习惯是培养几何直观能力的基础。小学生自制力比较差，注意力容易分散，教学中教师培养学生画图的习惯，既能够让学生集中注意力，又能够提高学生的绘图技能和动手能力，并在动手操作中体会几何直观的价值。因此，在教学中，教师应当引导学生尽可能地通过动手画图来解决数学问题。学生画图的过程可以将头脑中抽象的思维方式和思考过程变得图形化、直观化，使思考过程更加清晰、有条理。画图不仅可以在解决具体问题时运用，当学习完一个单元或整个章节的内容后，教师也可以引导学生尝试利用图形对知识进行梳理，将知识间的脉络体系进行整理，提高对知识的整体把握能力。

例如，教师在教学时可以利用知识结构网络图，帮助学生厘清知识间的联系。小学高年级学生已经初步了解三视图，会从正面、左面和上面判断图形的特征并选出相应的图形，有时还能够绘制出简单的图形，这样不仅加深了对三视图的认识，还提高了画图能力。

（三）寻找数学对象的直观模型

小学生抽象思维水平较低，对数的认识离不开现实生活中的实物，比如，一个苹果对应1，两根香蕉对应2。当学生开始接触数时，教师可以使用点子图和具体的事物（如小棒、积木条）帮助学生认识数。在小学低年级阶段，教师应用直观模型可以帮助学生理解数学概念，加深学生对数学对象本质的认识。比如，在方格中放一些圆点，一个圆点代表一个元素，一个方格代表一个集合，整数的加减运算就可以通过圆点的增加或减少来实现。

例如，为了解释5×6=30的算理，教师可以利用方格直观展示，把两个方格的点排成5行6列的矩阵形式。再如，学习长方体、圆柱等立体图形时，教师可以引入生活事例，也可以引导学生观察生活中哪些对象是已经学过的几何图形，并让学生说一说。除了上课时准备的直观教具，教师还可以利用多媒体展示更为复杂的直观模型，如球体的形成过程或立体图形的切面展示。在统计与概率、综合与实践领域，教师可以通过直观模型呈现问题的背景，如利用小圆片代替教材中的矿泉水瓶、套圈等，帮助学生直观理解平均数的含义。

（四）引导学生从数与形两个角度理解数学

很多数学内容具有数与形的双重特征。数形结合是一种重要的数学思想与方法，解题时运用数形结合的方法，学生需要对所学知识与技能具有贯通式的认识与理解。因此，教师有必要培养学生具备数与形之间的化归与转化意识，让学生能够从数与形两个方面理解数学。

例如，在小学阶段，学生初步接触正比例函数。与中学阶段不同的是，小学阶段只是从有限的自变量认识正比例关系，因而教师可以引导学生画出其中一部分正比例函数的图像，并尝试利用图像解决问题。相反，在统计与概率领域，当需要学生对统计图进行解释时，教师可以引导学生将图中的信息转化成数据再进行分析。

（五）重视几何图形的变换

发展学生的几何直观能力是图形与几何的核心教学目标之一。重视几何图形的变换是培养学生几何直观能力最有效的途径，因为只有通过图形的运动或图形的变换，才能真正把握图形的性质。[4]小学生接触的基本图形几乎都是对称的，如长方形、圆、长方体等，但基本图形可以通过变换或运动得到更多不同的图形。

例如，长方形通过变换得到平行四边形，三角形通过变换和平移可以得到平行四边形。图形的变换不仅是几何学习的重点，还是研究其他图形的工具，教师应当充分利用图形的变换，指导学生认识和理解图形的性质及内在联系。

（六）加强不同版本教材的整合

不同版本的数学教材对几何直观的重视程度有所差别。以北师大版数学教材为例，该教材重视利用几何直观帮助学生理解数学知识，阐述数学原理。

例如，学习小数乘整数这节内容，北师大版数学教材不仅通过小数的加法让学生理解小数的乘法，还运用图形解释算理（见图4）。教师在设计教学时，要研读多种版本的教科书，并借鉴其他版本数学教材中好的想法与设计意图，充分利用各种教学资源，在教学中运用几何直观的构想设计教学，帮助学生在学习中直观地理解数学，进一步发展几何直观和空间想象能力，从而形成直观想象这一核心素养。

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：92.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：6.

[3]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2012：268.

[4]史宁中.数学思想概论——图形与图形关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2015：153.

（责编 欧孔群）