非齐次树上关于随机和的一类随机逼近定理

王 东，梁晓青，金少华，张艳敏

（1.河北工业大学 廊坊分校，河北 廊坊 065000；2.河北工业大学 理学院，天津 300401）

非齐次树上关于随机和的一类随机逼近定理

王 东1，梁晓青2，金少华2，张艳敏2

（1.河北工业大学 廊坊分校，河北 廊坊 065000；2.河北工业大学 理学院，天津 300401）

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强极限定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究．利用条件母函数和尾概率母函数的工具，给出了非齐次树上关于随机和的一类随机逼近定理．

非齐次树；鞅；母函数；强极限定理

树指标随机过程已成为近年来发展起来的概率论的研究方向之一．强极限定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一．杨卫国[1]研究了齐次树图上马尔可夫链的强极限定理及具有几乎处处收敛性质的Shannon-McMillan定理．文献[2]研究了一类非齐次树上的Shannon-Mcmillan定理．本文通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究．利用条件母函数和尾概率母函数的工具，给出了非齐次树上关于随机和的一类随机逼近定理．

设T是一个具有根顶点o的无限树， Nn,n1 是一列正整数集，如果第n n0 层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，则称T为广义Bethe树或广义Cayley树．特别地，若对非负整数集N，用模m的同余关系对其分类得到模m的剩余类

是S上一概率分布，

是定义在S2上的随机矩阵，如果，有

并且

由上述定义可知，树T上的非齐次马尔可夫链的联合密度函数为

则称h PQ为P相对于Q的样本散度．

引理1 设P和Q如前定义，则有

由式 (7)和式 (8)可推出

定义条件母函数和尾概率条件母函数如下：

设0＜s＜1，将式 (26)两边同除以ln s，并由不等式及母函数的性质

在式 (22)中令s=1，由式 (7)，式 (9)和式 (23)，有

定理2和定理3的证明与定理1类似．

[1]Yang Weiguo，Liu Wen．The asymptotic equipartition property for mth-order nonhomo geneous Markov information sources[J]．IEEE Trans Inform Theory，2004（50）：3326-3330．

[2]金少华，霍艳，张会鹏，等．一类非齐次树上的Shannon-Mcmillan定理 [J]．数学的实践与认识，2009，39（14）：137-140．

[责任编辑 杨 屹]

A class of random approximation theorems for random sums on a non-homogenous tree

WANG Dong1，LIANG Xiaoqing2，JIN Shaohua2，ZHANG Yanm in2

(1.Langfang Branch,Hebei University of Technology,Hebei Langfang 065000,China;2.School of Sciences,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China)

In recent years,tree indexed stochastic process has become one of the research directions for studying in the probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper,through constructing a non-negative martingale and applies Doob's martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence,a class of random approximation theorems for random sums on a non-homogenous tree are obtained by using the tools of the conditional generating functions and the tailed-probability generating function.

non-homogeneous trees;martingale;generating function;strong limit theorem

O211.4

A

1007-2373(2015)05-0050-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.05.008

2015-04-09

河北省高等教育科学技术研究重点项目（ZD2014051）；河北省高等教育科学技术研究青年基金项目（QN2016176）

王东（1979-），男（汉族），讲师．