整体着眼，类比入手

刘玉华+王文清

教学过程

课前准备：生合上书，准备好练习本、直尺、笔、计算器等.

说明：合上书的策略，是为了促使学生积极主动地思考，尽量避免学生思维偷懒，尽量能暴露学生的真实思维成果，养成独立思考的习惯，提高思维能力.

1温故设疑，创设情境

师：前面我们已经学习了等差数列，是按照怎样的线索和思路研究等差数列的？研究了等差数列的哪些知识？

生众：先学习等差数列的定义，然后学习通项公式和前n项和公式.

师：回答得很好！等差数列的定义是什么？

生1：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

师：很准确！数列是按照一定顺序排列的一列数，等差数列实际上是根据研究数列中的相邻两项之间的运算关系得出的特殊数列.那么，一个数列从第2项起，每一项与它的前一项既然可以做减法运算，还可以做哪些运算？

生2：还可以做加法运算、乘法运算、除法运算.

师：如果任意后一项与前一项分别做加法运算、乘法运算、除法运算，且其运算结果分别不变，那么这样的数列你认为分别应当称为什么数列？

生3：等和数列、等积数列、等商数列.

师：如何定义这些数列？你能举出几个这样的具体数列吗？

生4（迫不及待站起来回答）：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.如：1，2，1，2，….

师：非常棒！我们又得到了一种新的数列！

生5：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积.如1，2，1，2，….

师：你太聪明了，用了刚才的例子，我们又得到了另一种新的数列：等积数列！大家还能举出其它等积数列的例子吗？

生6∶1，1，1，…，这个数列是等积数列，并且它也是等和数列！

师：好！你有新发现，又举了一个既是等和数列又是等积数列的好例子！

生7：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的商都等于同一个常数，那么这个数列叫做等商数列，这个常数叫做等商数列的公商.如：1，2，4，8，….

点评教师对本节课的引入没有按照教材的设计进行（人教A版教材安排：观察生活中的实例→抽象得到数列→观察数列的特点→得出等比数列的定义.），而是采用了本课例的点评人在2016年3月滨州市高中基础年级教学研讨会上评课时，提出的等比数列的引入，可以“从考察既然等差数列是一类项与项其“差”不变的特殊数列，那么自然想到，若项与项其“和”不变，其“积”不变，其“商”不变，则这样的数列有没有研究价值呢？应分别称为什么数列呢？”的视角引入（已研究了“差”，自然会想到还可以做哪些运算？并且不变呢？），这是站在知识整体的高度设计教学，等差数列和等比数列只不过是对数列中相邻两项蕴含的数量关系研究得来，不仅使得等比数列的定义呼之欲出，而且我们还发现了教材上没有的另外两种数列——等和数列与等积数列.这种设计不仅让学生知其然，更知其所以然，不但较好地培养了学生的数学思维能力，而且渗透了研究、发现数学新知识的方式、方法.可以极大地激发学生学习数学、研究数学、发现数学、喜欢数学的热情！对学生对数学的态度和认识的影响将是深远的、长久的、巨大的.

2联系类比，生成新知

2.1等比数列的定义

师：同学们类比得非常好！大家可以看出等和数列的奇数项、偶数项分别相等（也可以是常数列，所有项都相等）；等积数列，如果公积不为0也是如此，若公积为0，情况比较复杂，暂不讨论；与等差数列最为类似的是同学们说的等商数列，因为每一项与它的前一项的商就是每一项与它的前一项的比，所以我们通常把等商数列叫做等比数列，这节课我们就来学习等比数列.（师板书课题）

师：如何定义等比数列？你能举出一个具体的等比数列吗？

生8：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.如：1，3，9，27，….

（师在学生回答的过程中板书以上内容.）

师：同学用文字语言叙述得很好，你能用符号语言表示吗？

生9：和等差数列类似，anan-1=q（n>1）或写为anan-1=q（n≥2）.

师：好！判断下列数列是否为等比数列？

（1）1，-1，1，-1…

（2）a，a，a，a…

（3）1，x，x2，x3…

生10：这三个数列都是等比数列.

生11：不对！（2）（3）不一定是，在（2）中，若a=0，0不能做分母，不满足等比数列的定义；（3）中x=0也不行.

师：生11的思维很严谨，由此看来，等比数列中的任意项都不能为0，这和等差数列不同，等差数列中的项可以为任意实数，公差也为任意实数，等比数列中的公比是否也为任意实数？

生12：等比数列中的公比不能为0.

师：所以等比数列的定义中我们加上：公比通常用q表示（q≠0）.

（师在刚才板书的等比数列定义后面写上公比通常用q表示（q≠0））

师：在日常生活中有许许多多等比数列的例子，你能举出几个等比数列的例子吗？

（生13、生14、生15所举实例，恰好就是教材上的“细胞分裂”、“计算机病毒”、“银行存款”等问题.所以这里从略.）如某种细胞分裂，1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，细胞分裂的个数可以组成一个等比数列：1，2，4，8…，公比是2.

师：同学们举的例子都很好，在日常生活中，等比数列的例子还有许许多多，我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么？是否是等比数列？公比是什么？

生16：1，12，14，18…是等比数列，公比是12.

点评通过前面的温故设疑，等比数列定义呼之即出，难能可贵的是执教者在学生得出等比数列的定义后，没有急于对等比数列进行“一个定义三项注意”式的讲解，而是通过举例，让学生辨析、比较、领悟等比数列与等差数列的不同之处，进一步深化对等比数列定义的理解；不仅如此，老师进一步让学生举出实际生活中的等比数列的例子，这不仅深化了学生对等比数列定义的理解，意在培养学生在实际生活中发现问题、提出问题和解决问题的能力，把新课标精神踏踏实实地落实到了课堂中.只是稍感遗憾的是，学生可能因为课前预习的缘故，但更可能是生活积累不足的原因，举的都是课本上的例子，老师若能进一步放飞学生的思维，举出课本以外的例子会更好！

2.2等比中项的定义

师：我们已经知道了什么是等比数列，最简单的等比数列有几项？你能举出一个例子吗？

生17：和等差数列类似，三项，如1，2，4.

师：对，既然和等差数列类似，2可以叫做1和4的什么项？

生众：等比中项.

师：推广到一般情况，如何定义等比中项？

生18：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（师板书以上内容）.

师：类比得很好！能用a与b表示G吗？

生19：G=ab.

生20：不对，G=±ab..

师：为什么？

生21：因为ab的平方根有两个，这两个平方根都满足题意.

师：很好！等比中项虽然和等差中项类似，但还是有不同的地方，等比中项有两个值，这两个值互为相反数.

师：请判断下列两组数有无等比中项，若有，请你求出其等比中项：

（1）―1与―4；（2）1与―4.

（生答（略））

师：由此可见，并不是任意两个实数都有等比中项，当两个实数a与b满足什么条件时才有等比中项？

生22：a与b的符号相同时才有等比中项.

师：很好！a与b的符号相同时才有等比中项，并且等比中项应该有两个.（师板书ab>0）

师：我们知道，有的数列如：1，2，1，2，……它既是等和数列又是等积数列，那么是否存在既是等比数列又是等差数列的数列吗？若存在，你能举个例子吗？

生23：常数列，如2，2，2….

师：常数列一定既是等比数列又是等差数列吗？

生24：不一定，如0，0，0…，应该是非零的常数列一定既是等比数列又是等差数列！

师：你总结得很准确！非零的常数列非常特殊，它既是等差数列，又是等比数列，还是等和数列，等积数列！（板书）

2.3等比数列的通项公式

师：我们先学习了等差数列的定义，然后推导出了等差数列的通项公式，现在我们已经学习了等比数列的定义，接下来，我们应当干什么？

生众：推导等比数列的通项公式.

师：投影出示：已知等比数列{an}，首项为a1，公比为q，求an.

学生在练习本上独立推导等比数列的通项公式，师巡视指导.

师（看到大部分学生都已推导完通项公式）：哪位同学上讲台展示一下自己的解法？

（先后有四位同学实物投影展示自己的解法）

生25：（归纳、猜想法，具体略.）

师：你怎么想到这种推导方法的？

生：类比等差数列通项公式的推导方法！

师：很好！所得结论显然是正确的！类比不仅是一种重要的学习方法，也是一种重要的发现方法.“类比是一个伟大的引路人”，在许多知识的学习中都可以用到类比.

师：同学们还有其它不同的解法吗？

生26：我是类比等差数列的叠加法想到用累乘法求等比数列的通项公式的.（略）

生27：和等差数列类似，也可以运用迭代法.

an=an-1q=an-2q2=…=a1qn-1（n∈N*）

显然上式当n=1时，也成立.

生28：an=a1·a2a1·a3a2···anan-1=a1qn-1

显然上式当n=1时，也成立.

师：上述解法都不错，尤其生28的解法妙极了！运用了一个恒等式，就使问题顺利解决了.

生29：构造常数列anqn，因为anqn=a1q，所以an=a1qn-1.

师：你的观察能力非常强！化“变”为“不变”，用的是转化的数学思想.

刚才几位同学解答得都非常好！不管用哪种方法，最后都得出等比数列的通项公式an=a1qn-1（师板书）.

师：刚才等比数列定义及通项公式都是类比等差数列学习的，在等差数列（非常数列）中，通项公式an是关于n的一次函数，在等比数列中，通项公式an是关于n的什么类型的函数？

生30：指数型函数.

生31：不对，应该是，当q≠1时，通项公式an是关于n的指数型函数.

师：好！请同学们画出通项公式为an=2n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你会有什么发现？

学生做图，师巡视指导.

生32：通项公式为an=2n-1的数列的图象为函数y=2x-1的图象上的一些孤立的点，就是当x=1，2，3…时得到的那些点.

师：由此看出，等比数列就是指数型函数的特例，原来研究指数函数的方法同样适用于研究等比数列.

点评等比数列通项公式的推导是本节课的重点，也是难点.老师没有直接讲解通项公式的推导，而是让学生独立推导，上讲台投影展示自己的解法，增大了课堂容量，暴露了学生的思维，保障了学生的主体地位；同时，老师在学生讲解的基础上，不断总结、提炼、升华，充分发挥了教师的主导作用.这充分体现了执教者“以生为本”的育人理念.值得一提的是，学生实物投影展示推导等比数列通项公式的过程，没在黑板上留下板书，不利于学生进一步反刍思考、归纳整理，若改为四个同学板演，保留板演过程效果应该会更好！

3学以致用，深化提高

师：在等比数列中，我们已经推导出通项公式为an=a1qn-1，根据此公式，你能设计出什么题目？

生众：和学习等差数列的题目类似，已知通项公式an=a1+（n-1）d中的任何三个量就可以求另外一个量，也就是知三求一问题.

师：那好，请同学们自编两个知三求一的问题.

同学们陆续编出很多问题，老师精选四个题目写到黑板上：

（1）已知在等比数列{an}中，a1=1，q=3，求a5.

（2）已知在等比数列{an}中，a1=2，a5=8，求q.

（3）已知在等比数列{an}中，a2=12，a5=116，求a8.

（4）已知在等比数列{an}中，a3=1，q=3，求a5.

……

师：同学们编的题目很好，请同学们完成以上四个小题（四名学生板演）.（（1）、（2）、（4）解答略）

生33：（3）学生板演过程如下：

由题意得，a2=a1q=12， ①

a5=a1q4=116.②

解得a1=1，

q=12.

所以a8=a1q7=1×127=1128.

师（巡视，看同学们基本做完）：哪位同学点评一下这四个题目的解答过程？

生34点评：这四位同学的结果都是正确的，都利用了等比数列的通项公式an=a1qn-1，只是在（2）中，我组有的同学把q=±42写成了q=42，一个正数的偶次方根有两个，需引起重视.

师：点评得太漂亮了！这几位同学把题目中的量都用a1、q表示，然后进行求解，这种解决问题的思想方法叫做基本量法，充分体现了数学上把复杂问题简单化的转化思想.

生35：老师，（3）题，我还有简单做法！

（3）因为a25=a2a8，

所以a8=a25a2=116212=1128.

师：你的观察能力非常强，做得非常巧妙！他充分利用了a5是a2与a8的等比中项，和等差中项类似，an是an-k与an+k（n>k>0）的等比中项，所以有：a2n=an-k·an+k（n>k>0）.

生36：老师，（3）题，我还有一种解法：

由a5=a2q3=12q3=116，得q=12.

所以a8=a5q3=116×123=1128.

师：非常好！他灵活运用等比数列的定义，看出a5=a2q3，这里我们也可以得出一个一般性结论：an=amqn-m（n，m∈N*），也和等差数列类似！

生37：老师，（4）题也可以用类似的解法：

a5=a3q2=1×32=9.

师：刚才同学活学活用，解得很好！第（4）题用第（3）题总结出来的结论解答更简捷！

同学们的思维都很活跃！解决与等比数列通项公式有关的问题，通法是基本量法，当然，针对不同的题目，我们用等比数列的一些性质解答会很方便，如刚才总结得出的a2n=an-k·an+k（n>k>0）和an=amqn-m（n，m∈N*），所以，请大家在运用通法的同时，多思考、多探索，尝试用一些巧法会更好！

点评提出一个问题远比解决一个问题更重要！此环节，老师没有出示自己设计好的例题，而是放手让学生设计题目，然后选取典型题目让同学尝试解答.这样的题目来源于学生，学生解决自己提出的问题会更有兴趣，老师在学生智慧的闪光中因势利导，总结解题规律，提炼解题方法，诠释数学思想，体现了执教者高超的驾驭课堂的能力！

在力所能及的情况下，让学生编题是本文点评者自80年代以来，一贯的做法和提倡，它不仅能丰富课堂练习，而且能加深学生对内容的理解，是一个对数学学习很好的、很有效的措施.另外，如果能引导学生编出几道开放性问题，就更好了（如，（1）已知a3=3，a4=6，求；（2）已知a2=1，，求a8；等等.）.它不仅能加深学生对通项公式的理解，而且可以提高学生对数学学习的兴趣.

对第（3）题的处理，本文点评者历来不主张用等比数列的性质，尤其，不应作为对全体学生的要求！对数学优秀生可以记，可以用，但对于其他大多数学生不要求，不鼓励.因为它不仅增加学生的记忆负担，而且会常常出错.如果教师在数学教学中，始终渗透数学思考的一个最重要的方法——分析综合法，那么，第（3）题的解答也会有不次于用性质的解法，即注意到要求的a8=a1q7，则由生33解答中的②2÷①，即得.这样一节课下来，始终就是紧紧抓住处理数列问题的最重要，也是最通用的基本思想方法——基本量思想和分析综合法，学生的负担轻，思路明，方法专，就会学的轻松、愉快！

4反思小结，提炼观点

师：同学们，我们本节课学习了哪些知识？是如何学习这些知识的？用到了哪些思想方法？有哪些基本题型？你还有哪些感悟？

生38：这节课我们学习了等比数列的定义、等比中项、等比数列的通项公式，主要运用类比的思想方法学习的，主要题型有知三求一问题.

生39：我觉得在学习时要先想想以前是否有类似的问题，注意运用类比；在学习时要理解好定义，定义是解决一切问题的源头；再就是注意观察实际生活中的数学问题！

师：同学们都总结得很好！请看屏幕（等差数列与等比数列对比表格（略））：

师：数列孪生子，等差和等比；形神都相似，处处用类比；

等比要条件，等差不挑剔；遇题要分清，巧解更容易.

点评小结是一节课的画龙点睛之笔.本节课从五个方面让学生进行反思小结，建立知识网络结构，注重提高学生的思维能力，发展学生的核心素养；最后教师用一首打油诗结束本课，进一步展现了老师较高的教学艺术，给本节课带来了生机和情趣，极大地调动了学生学习数学的积极性！

师生都没有提到没有用到的“分析综合法”在意料之中，但都没有提到已用到的归纳、猜想，迭代、累乘法、恒等式、转化与化归、基本量等思想方法和等和数列、等积数列，以及编题活动，则很不正常，只能说明学生对它们印象不深，重视不够，这不能不说是本节课的遗憾！

5布置作业，巩固提高

作业：1.人教A版P53习题24中的第1题；

2.查找资料，就生活中的等差数列和等比数列问题写一篇小论文.

点评新课标提出了“四基三能”，作业第2题很好地落实了课标的这一要求，对培养学生的应用意识和创新意识大有裨益.

6总评

6.1整体建构，突出创新

数学知识的获得应该是遵循知识发生、发展的自然规律，一般是在原有“旧知识”上的自然生成.本节课中，老师的导入由复习等差数列开始，看似简单，却指向性明确，不但复习了等差数列的研究思路，还挖掘出发现、研究数学的方法，尤其发现、研究特殊数列的方法（利用相邻两项的运算关系），学生自然地得出“等和数列”、“等积数列”、“等商数列”这些新概念，使得等比数列概念的得出水到渠成，这对培养学生的创新意识至关重要！这种整体建构情境的做法，使得导入自然而又新颖，是本节课的一大亮点.

6.2联系类比，自然生成

波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”；开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”.在数学教学中，若能充分恰当地运用类比，驱学生的思维于最近发展区内，利于发现新旧知识在研究思路、方式、方法、内容之间的区别和联系，减轻学生的记忆负担，提高发现问题、提出问题和解决问题的能力.本节课中，等比数列是完全类比等差数列来学习的，学生对等比数列、等比中项、通项公式的得来都感到得心应手；即便是关于等比数列的题型，学生也非常容易地联系和类比等差数列，得到知三求一问题，这些新知识的获得都是自然而然、轻松自如的，因此可以轻而易举地把这些新知识纳入到已有的知识结构中.

6.3学为主体，教为主导

《教育规划纲要》指出：“要以学生为主体，以教师为主导，充分发挥学生的主动性……”本节课中，执教者把教学的重心放在学生的学上，给了学生充分的话语权；同时，教师也未放弃自己的主导地位，不断恰当地予以引导、点拨、总结、提炼、评价.如：在等比数列定义的获得和深度理解，等比数列通项公式的推导和巩固强化等处，老师都不断地引导学生思考、总结，特别是放手让学生编题，由学生板演和点评等等，充分保障了学生的主体地位；同时，教师在整个过程中总结出类比、递推、转化、化归等数学思想方法，起到了“授之以渔”的作用.

6.3.1注重培养学生的问题意识

“提出一个问题远比解决一个问题更重要”.新课标明确指出：提高学生提出问题、分析和解决问题的能力；现代思维科学认为，问题是思维的起点，任何思维过程总是指向某一具体问题的，问题又是创造的前提，一切发明创造都是从问题开始的.培养学生问题意识，有助于培养学生的创新思维，提高学生的数学素养.本节课中，执教者从多个方面培养学生的问题意识，一是精心设置了一系列的问题串推动本节课的教学，激发学生的问题意识；二是放手让学生类比、猜想、概括、总结等比数列的定义、等比中项、通项公式等，发展学生的问题意识；三是不断评价称赞学生，保护学生的问题意识.相信，长此以往，学生的问题意识会越来越强，创新的种子必定会生根发芽.

6.3.2大胆放手，给学生思维的时空

罗曼·罗兰曾说“一个人只能为别人引路，不能代替他们走路.”俗话说“告诉我，我会忘记；做给我看，我会记得；我亲自做，我才懂得.”课堂是否有效，主要不在于教师教了学生什么，而在于学生学到了什么.这就需要教师在课堂上创设一种“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的发展空间，让学生在自我摸索中发现学习之道，体悟成功的快乐，让课堂成为师生互动的平台，成为学生自主探究、放飞思维、升华能力的摇篮.本节课中，执教者从等比数列定义的形成到通项公式的推导运用，充分让学生思考、发言、辨析、评价、总结，老师适时追问、补充、总结、提炼、升华，课堂中充溢着理性的思考，闪烁着着智慧的灵光，真正让课堂“活”、“动”起来了！

6.3.3合理评价，促进学生主动发展

新课标提出，要发挥评价的积极导向作用.课堂教学评价应该是一种民主、平等的“对话”，这种“对话”过程贯穿着尊重人、爱护人、发展人的人本主义情怀.有效的课堂评价提供的是强有力的信息、敏锐的洞察力和正确的指导，其主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，反映学生数学学习的成就和进步，诊断学生在学习中存在的困难，帮助学生认识自己在解题策略、思维或习惯上的长处和不足；及时调整和改善教学过程，使学生形成正确的学习期望，以及对数学的积极态度、情感和价值观.本节课，既有自我评价、生生互评，也有教师评价.特别值得一提的是，教师态度和蔼，不时给予学生肯定与赞美，给学生营造了一种和谐愉悦的民主氛围，极大地调动了学生学习的积极性.例如：当学生回答正确时，老师赞扬学生“你太聪明了”，“你观察能力非常强”，“非常好”，“点评得非常漂亮”等等，这些恰如其分的表扬无疑会激发学生的学习积极性，开启他们智慧的阀门，让数学的学习变为一种享受、一种快乐，把数学的育人功能切切实实地落实到了课堂中.