拨开迷雾 找准方向
——从高三复习课《圆锥曲线》一道例题的化简方法谈起

张跃红

（南京师范大学附属中学 210003）

在高三复习中，圆锥曲线部分的解答题是让教师和学生都比较头疼的.因为在测试中，它并不属于真正的难题，本应该通过复习能取得不错的成绩.但事实上，教师劳心费力，收效却甚微.学生一旦遇到综合性题目，往往头绪万千，深陷其中，而不能自拔，最后无功而返.那么，如何才能让学生尽快理清思路，从“迷雾”中走出？本文结合高三复习课中一道例题的化简方法，谈一些想法与同行交流.

1 一个例题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）. 过点D（1，0）的直线l交椭圆于M，N两点，直线A1M与A2N的交点为G.

图1

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：点G恒在一条定直线上.

本题的第（2）问是比较常见的问题，解决问题的关键在于如何处理直线与椭圆的交点.虽然圆锥曲线的解答题会涉及到各类型的问题，比如求值，最值与范围，定点、定值等等，但归根结底都会与直线和圆锥曲线的交点有关.而事实上，学生处理不好圆锥曲线问题往往就是因为不清楚是“设点”，“设直线”，还是“求点”？以至于“东想西想”列出来一堆式子，而面对它们又不知道要做些什么，理不清思路，最后只好作罢.

那么，面对这样的问题，到底应该如何思考？

2 多种解法

2.1 直接求

方法1设直线A1M的方程为y=k1（x+2），直线A2N的方程为y=k2（x-2）.

消去y得

解得点M的坐标为

同理，可解得点N的坐标为

由M，D，N三点共线，

化简得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0.

由题设可知k1与k2同号，

所以k2=3k1.

解得交点G的坐标为

将k2=3k1代入点G的横坐标，得

所以，点G恒在定直线x=4上.