微积分基本定理的推广
——曲线积分基本定理及其应用

张 雁●

西南交通大学峨眉校区(614202)

微积分基本定理的推广
——曲线积分基本定理及其应用

张 雁●

西南交通大学峨眉校区(614202)

本文举例应用曲线积分基本定理求解一些积分，以达到简化运算的目的.

曲线积分；微积分；基本定理；应用

一、曲线积分基本定理

假设C是分段光滑的曲线，并且已知它的参数方程为r=r(t),a≤t≤b，由a=r(a)开始到b=r(b)结束，并且f在一个包括曲线C的开集中连续可微，那么

∫Cf(r)dr=f(b)-f(a).

(ⅱ)若是分段光滑的，我们可利用曲线积分的可加性，得知，结果仍成立.

(ⅲ)对应的标量形式为：

∫CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫Cdf(x,y)

二、应用举例

计算曲线积分：∫LF(r)·dr其中：L为任何简单的分段光滑的曲线，从点(0,3,0)到点(4,3,0)不含原点.

例2 在椭圆上每一点m有作用力F，其大小等于点m到原点的距离，方向指向原点.求质点m沿逆时针方向走遍椭圆时，力F所作的功.

从解题过程看，椭圆路径可换成任意分段光滑曲线，逆时针也可以是顺时针.结论仍不变.

三、部分使用曲线积分基本定理求积分

[1]微积分[M].第9版.刘深泉等译.北京：机械工业出版社.747

G642

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1008-0333(2016)36-0004-01