三角函数问题在实际生活中的应用

王雪纯

【摘 要】三角函数是一种重要的数学工具，其数形结合的思想使某些问题的解决大大简化，利用其基本函数之间的巧妙关系所得到的结果往往令人惊叹。从三角函数的一般内涵和基本特性出发，可以分析得到几种常见的三角函数类型；再由纯数学问题延伸到具体工程问题，由此体现三角函数问题在实际生活中的应用。

【关键词】三角函数；数形结合；应用

科学源于实践，亦将指导实践。数学也是科学，任何一种数学方法都有它的实际应用场合，三角函数作为一种常用的初等函数，应用更是广泛，而熟练应用某种数学方法的基础在于首先掌握相关的数学理论。从我们学生的角度而言，既要看到数学方法的实用性，更要懂得百炼方能成钢的道理。

一、三角函数概述

（一）基本内涵

众所周知的是，三角函数为6大基本初等函数之一，在高中数学的学习中，其基础性和重要性不言而喻。一般认为，三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，实际上从本质上来看，要表示直角三角形三条边长度的比例关系，基础表达式只需要一个：正弦，另外五个都可依据正弦值进行简单的运算而推导出来。如果考虑到任意角的三角函数，那需要两个基础表达式：正弦和余弦，以确定该角度对应的终边在哪个象限。在应用三角函数解决问题时，合理利用不同三角函数之间的转换关系，是其最基本的方法之一。

（二）函数特性

三角函数的多个基础表达式之间可以灵活变换，这既是其基本内涵，也是其函数特性之一。将某个三角函数单独拿出来看，还可以挖掘更多的特性。

第一，周期性。无论正弦余弦、正切余切，还是正割余割，都是周期函数，这一特性是将三角函数拓展延伸的基础。将函数图像沿着坐标横轴平移，会产生相位的变化，这在物理学上对波的研究有重要意义。第二，三角函数表达式的三个基本特征量是：幅值、频率、相位。抓住了这三个特征量，就抓住了分析三角函数的入口。第三，特定的定义域和值域。六个三角函数都有自己特定的定义域和值域，在求解三角函数问题时，需要特别关注其定义域和值域的限制。

二、三角函数问题的常见类型

（一）周期性及特征值问题

比较四个数的大小：

（二）表达式化简问题

化简表达式y=4+8sinxcosx+8cos2x-8cos4x。

这道化简题并不难，但其原本的表达式很难直观地看出该函数的性质，为了便于分析，需要先进行函数化简。

y=4+4sin2x+8cos2x（1-cos2x）

=4+4sin2x+8cos2xsin2x

=4+4sin2x+2sin22x

=2（1+sin2x）2+2

经过化简，函数表达式变得异常简单，十分容易在脑海中联想出函数特性。

（三）极值问题

以上一题为例，求其极值。

sin2x的的值域是[-1，1]，带入化简后的表达式中，很容易得到函数y的极大值为2*（1+1）2+2=10，，极小值为2*（1-1）2+2=2.

（四）三角函数表达式构建问题

如图，要把一个圆形截面的木材切成矩形的，问怎样切才能充分利用材料，使矩形截面积最大？

三、应用延伸

前文说到对纯数学问题的掌握是实际应用的基础，事实上，实际问题不仅仅在难度上更有挑战性，在问题的条件取舍上也更有讲究，没有所谓的理想情况，但适当的简化条件是有必要的，这不仅仅是针对于三角函数问题，所有的理论运用于实践时都需要经过这样的调整。

（一）建筑面积规划

如图是一块正方形空地，边长100米，扇形部分是一块绿化地，半径为90米，要在剩余空间中取一矩形部分作为停车区域，并使停车区域的一个边界点落在扇形圆弧上，相邻两边落在DC、BC边上，问如何规划可使停车区域面积最大？

得S=10000-9000t+8100*（t2-1）/2=4050（t-10/9）2+950，当t=时，S取最大值，即当？兹=？仔/4时，停车区域面积最大。

（二）力学问题

如图，地面有一根30厘米长的木棒，其顶端受到一个水平向右的恒力T，可绕其下端C点旋转，木棒左边有个长20厘米的弹簧与木棒连接于A点，弹簧的另一端固定于地面，如果要使弹簧所受拉力最小，应如何选取A点？

这两个实际问题的应用，都是将实际问题简化后提取一个数学模型，并利用三角函数构建表达式，然后在分析函数特性，求解其极值。

结论

关于三角函数的知识从初中起便已进入课堂，在高中数学中得到进一步加深和巩固，其图像和代数之间的神奇联系经常让我沉醉。在实际生活中，三角函数问题无处不在，小到一条线段长度的计算，大到跨江大桥、摩天大楼的设计，都有它的身影。经过大量的练习，在我眼里sin和cos仿佛太极图里的阴阳两极，凭借周期性的函数映射关系、特定的定义域与值域，经过有效的变换，使复杂的问题迎刃而解。

参考文献：

[1]王红晓.三角函数在物理力学中的运用[J].中学生数理化（学习研究），2016，05：39+3.