极坐标变换计算二重积分中积分限转换的一种简单方法

孙茜

【摘要】在用极坐标变换法计算二重积分时，对于如何转换积分限是难点，本文提出了一种容易理解和掌握的方法.

【关键词】极坐标；二重积分；转换

二重积分的计算通常是在直角坐标系中进行，对于被积函数含有x2+y2或者积分区域是圆、扇形、弧形的二重积分，将直角坐标系转化到极坐标系下计算比较简单，常见的转换方法是将直角坐标系中原点看成极坐标系下极点，x正半轴为极轴，根据Df（x，y）dxdy=Df（rcosθ，rsinθ）rdrdθ转换，其中如何将直角坐标系下积分限转换为极坐标系下的积分限是难点，本文结合两道典型例题对此难点提出了一种容易理解和掌握的方法.

教材中将二重积分在极坐标变换下的转换方法分为三种，分别为：α≤θ≤β，φ1（θ）≤r≤φ2（θ）；α≤θ≤β，0≤r≤φ（θ）；0≤θ≤2π，0≤r≤φ（θ），在实际解题中，很多学生很难区分具体用哪种方法并频繁得到错误结果，实际上，如果结合图形看：

若将极轴Ox看成一条绕着极点O移动的动直线，动直线Ox逆时针旋转的角度视为正角，动直线顺时针旋转的角度视为负角，逆时针移动动直线Ox从正角α开始接触积分区域到正角β结束刚好完全扫过积分区域，因此角θ的范围为α≤θ≤β.

对于r的范围可以这样看：从极点O出发引射线穿过积分区域，只允许射线与积分区域至多有两个交点（如果交点多于两个，则需要对积分区域分割），观察射线与积分区域的交点位置，先交区域D的交点所在的曲线为r的下限，后交区域D的交点所在的曲线为r的上限，因此r的范围为：r1（θ）≤r≤r2（θ），因此直角坐标系下的二重积分转化……