关于初中数学图形等面积拼接问题的教学之探索

文志远

摘要：初中数学中许多几何数学问题看似与面积不相关，但是却可以灵活地利用面积法予以解决。面积作为几何的一种重要结构，学生要学会将其作为解题的重要工具与手段，探索几何数学问题求解的正确解答方法。而在图形等面积拼接教学中，“剪图与拼接”教学是引导学生解决这一类数学问题的重要教学方法，笔者将通过初中数学图形等面积拼接问题进行“剪图与拼接”教学的分析与探讨，以供参考。

关键词：初中数学；几何问题；面积法；拼接

在面积法中，剪图与拼接是其最为直接且易于理解的解题思路，具有思路灵活与答案不唯一的特点。同时，这一解题思路对学生提出的要求就是要针对几何问题进行多方面、多层次以及多角度的思考与探索，在深入理解与领悟剪图与拼接的要点之后，将原图形的面积以全新、直观、易求解的图形面积展现出来[1]。

1 初中数学图形等面积拼接现状

在初中数学勾股定理的课堂教学后，呈现给学生的新知识点之一就是图形等面积拼接问题，旨在培养学生对这类数学问题的解决能力。教师在教学过程中，关键是要引导学生去将等面积图形拼接思路与拼接方法进行归纳总结，形成其对正方形拼接问题的正确深刻认识，着重针对剪图与拼图方法的教学难点进行授课。但是在引导学生去联想、模仿赵爽弦图进行正方形拼接的时候，却存在这样的困境：在分割线减少的情况下，学生难以摆脱赵爽弦图的禁锢，难以找到分割线不过格点的好方法，也就难以解决这类数学题。因此，要真正培养学生解决这类数学问题的能力，就需要引导其理解与领悟“剪边长、拼直角”的剪图与拼图原理。

2 初中数学几何图形等面积拼接问题教学方法

2.1 “5个等面积且呈一字型的小正方形——1个同等面积大正方形”剪拼教学

在教学过程中，教师发挥着重要的引导作用，让学生可以在教师的有效引导下与自身学习相结合，发现数学中的问题，并予以解决，也利于避免学习误区，防止定式思维对学习的影响。比如在5个等面积且呈一字型的小正方形中，教师可以引导学生从拼图前后面积不变的角度去深入思考，每个小正方形边长为1，5个一字型排开的小正方形总面积为1×5=5，因此，所需要拼接的同等面积大正方形的边长则为 ，所以要在一字型5个小正方形组成的矩形中找到边长为 的分割线。而根据前面课程的勾股定理，我们可以得知长为2、宽为1的长方形对角线即为另一边长 ，可以将其作为分割线，再让学生沿着分割线剪切而拼接成新的大正方形。如图1所示：

教师在引导学生剪图拼接后，也要让学生对其分割方法进行检验、归纳与总结，可以得到切边长、拼直角的解题方法。

2.2 “改变位置后的5个小正方形——1个同等面积大正方形”剪拼教学

与2.1不同的是，5个小正方形只是位置发生变化，其他方面条件一样。

2.2.1 学生在赵爽弦图思维定式下的图形分割法

在往常的教学过程中，常见学生摆脱不了赵爽弦图的思维定式，将图形剪出1个正方形与4个直角三角形，如图2所示：

2.2.2 摆脱赵爽弦图思维定式下的图形分割法

要摆脱赵爽弦图进行几何数学图形等面积的剪拼，可以用分割线分成三个部分，将其中2块移动拼接成新的等面积大正方形，如图3所示：

2.2.3 图形分割法的延伸归纳

教师要引导学生在解决问题后，引出问题，进行解题方法的延伸归纳[2]。比如，教师可以引出“是否在保证拼得正方形边长确定的分割线之间相互垂直的情况下，能够剪拼形成更大的同等面积正方形”这一问题。教师可以让学生进行正方形纸片剪拼试验方法，让学生亲身操作，作出边长为 的分割线，在其相互垂直的情况下，可以作出2组图形剪拼如图4所示：

由此可见，学生已经不再局限于赵爽弦图而进行图形拼接。然而，教师还要注意，不能让学生步出了一个思维定式而又走进了另一个思维定式。学生在利用正方形纸进行 为边长的分割线时，一般是通过勾股定理得出以1和2为直角边长的三角形斜边长，但是其分割线顶点出现了局限性问题，即都处于格点处。那么，教师要引导学生进行更深层次与更多方面的思考：以 为边长，同时又相互垂直的分割线还能有其它分割法吗？学生在教师的引导下，可以发现，分割线的平移作用并不会对相互垂直的分割线位置与数量造成任何影响。也就是说，分割线的意义就是将所要拼接的大正方形边长剪切出来，所以最后拼图时要使得分割线朝外拼接，而分割线互相垂直的意义，就是通过垂直分出四个直角，将其作为新正方形的内角，最终形成完整的新大正方形，如图5所示：

2.3 “2个任意大小正方形——1个同等面积大正方形”剪拼教学

可以将2个大小正方形设为边长分别是1和2，要将其进行剪图拼接形成新的1个同等面积大正方形。原图形面积为两个小正方形面积之和，即是1?+2?=5。因此，所需要拼接的新正方形面积也是5，其边长则为 ，可将采用如图6所示的剪图与拼接方法：

其中，AB=CD=1，BC=DE=2，由左图作出分割线AC和CE，边长即为 ，是所需要拼接的新正方形边长，沿着分割线进行剪切，将2个大小正方形分成3部分，并将剪切出来的1和2部分纸片拼接在1?和2?位置，最终形成新的等同面积大正方形ACEF，且边长为 。

3 初中数学图形等面积拼接问题的思考及有效策略

初中数学图形等面积拼接问题的教学环节创设，旨在让学生可以不断去探索剪切与拼接正方形的各种新方法，但是目前却普遍存在学生难以摆脱赵爽弦图的拼接思路，数学思维呈现定式特征。数学是一门抽象且深奥的课程，需要学生不断去思考，去探索，去突破。因此，要做到以下几点，强化初中数学图形等面积拼接教学[3]：

首先，要强化教师的引导作用。教师要正确认识自身在课堂上的主导地位，在尊重学生主体地位的前提下，充分发挥自身的引导作用，及时带领学生走出误区，进而走进新天地，并且要进行新知识的拓展与延伸，鼓励与引导学生去更深层次与另辟角度去探索新问题与新方法，在多方面观察的前提下进行深入学习与思考。

其次，要强化学生的几何画图能力。在初中数学图形等面积拼接教学中，作出图形分割线是十分重要的学习内容，学生要在这个过程中切身体会怎样去拼接全新的等面积正方形，借助剪刀与纸片开展实际操作，加深自身的记忆，强化自己对这一知识的训练。此外，还可运用其它技巧，比如用数字来对所需拼接的图形进行顺序标注，从而让自己更清晰直观地看到拼接前后图片的位置变化，利于提高操作效率与实践能力。

4 结束语

总的来说，初中数学图形等面积拼接问题教学工作，需要在教师的有效引导下让学生去学，教师也要在学生学习过程中去加深教学，推动学生不断去发现新问题，进而分析问题，在归纳与总结的过程中培养与提高其解决问题能力，并且养成其创新探索的学习好习惯，使其整个学习生涯都受益。

参考文献：

[1]李忠琴.面积法在图形剪、拼中的运用[J].基础教育论坛，2010，（11）：27.

[2]许雯.对初中数学图形等面积拼接问题的教学反思[J].北京教育学院学报（自然科学版），2012，04：54-56.

[3]陈琦琨.初中数学教学中面积法的应用探讨[J].中学课程辅导（教师通讯），2015，06：53.