运动的相对性与参考系的选择

韩兰岚

(广州市第二中学，广东 广州市黄埔区水西路，510530)

运动的相对性与参考系的选择

韩兰岚†

(广州市第二中学，广东 广州市黄埔区水西路，510530)

讨论了运动的相对性与选择参考系之间的关系。对运动的描述是相对的，描述物体的运动必须选择参考系。选择参考系的实质是比较被观测物体的运动与参考系的差别，因此在不同的参考系中对运动过程的描述是不一样的。任何运动参量的测量值都必须有明确的参考系。在运动学的研究中，可以选择任何物体作为参考系。牛顿运动定律只在惯性参考系中成立，因此在动力学的研究中，必须选择地球或相对地球做匀速直线运动的物体作为参考系。

相对运动；坐标系；参照物

1 引言

物体的空间位置随时间的变化过程称为机械运动。运动是绝对的，但对运动的描述又是相对的。例如，坐在行驶中火车内的乘客，相对于地面是运动的，但相对于火车却是静止的；而且还可以说，相对于向前行驶的火车，地面正在向后运动。因此，研究物体运动必须选定参考系，物体相对于某一个参考系的运动才具有确定的意义。有关参考系的选择问题贯穿整个机械运动。例如，区分静摩擦力和动摩擦力的标准就是两个相互接触的表面是否有相对运动，而不管物体本身的运动状态是怎样的。刻舟求剑的笑话就源自参考系的选择，我们观测到的天体运动规律也与地球参考系密切相关。物体的机械能也与参考系的选择有关，物体的重力势能决定于零势能参考面，甚至物体的动能也与参考系有关。第一次世界大战期间，一位法国飞行员在飞行时能安全地用手抓住一颗德军射出的子弹，就是因为相对于飞机，子弹的速度和动能近似为零。

选择参考系就是忽略参考系中所有参照物的运动，只注重所观测物体的运动参量中与参照物运动参量不同的部分，这就是相对性的本意。选择不同的参考系来观测同一物体的运动，结果会有所不同。参考系的选择有一定的任意性，恰当的参考系会使问题变得容易处理。但有的时候，也对参考系有限制条件。本文讨论参考系的选择条件。

2 运动学中的参考系

2.1 两个物体的位置、速度和加速度之间的相对关系

描述物体机械运动的基本物理量是位置（位移）、速度和加速度，研究这三个物理量随时间的变化规律称为运动学。下面导出同一参考系中两个物体的运动参量之间的关系。

图1 物体A和B的坐标位置

如图1所示，相对于坐标原点O，物体A和物体B的位置分别是xA和xB；相对于物体B，物体A的位置是xAB。这三个位置量之间有关系式

当这两个物体的位置发生变动时，它们的位移之间有关系式

在等式（2）两边同时除时间Δt就得到平均速度关系式

等式（3）中的vA和vB分别表示物体A和物体B相对于坐标系的速度，vAB表示物体A相对于物体B的速度。这个等式说明，物体A相对于坐标系的速度等于物体A相对于物体B的速度加上物体B相对于坐标系的速度。如果将等式（3）移项后变为vAB=vA-vB，这个式子说明，物体A相对于物体B的速度等于物体A的速度减去物体B的速度。或者说，如果选择B为参照物，则物体A相对于B的速度就是从A的速度中扣除与B相同的部分。

这个等式说明，物体A相对于坐标系的加速度aA等于物体B相对于坐标系的加速度aB加上物体A相对于物体B的加速度aAB。或者说，物体A相对于物体B的加速度等于物体A的加速度减去物体B的加速度。这几个式子给出了一维运动中的关系，很容易推广到二维和三维运动。

2.2 两列相向行驶的火车

如图2(a)所示，设有两列长度分别是lA和lB的火车A和B相向行驶，计算这两列火车从相遇到经过的时间。我们分匀速和匀加速两种情况来计算这个时间。第一种情况，假设两列火车相对于地面分别以速度vA和vB匀速相向行驶。

图2 两列相向行驶的火车

（1）如果选取地面为参考系，如图2(b)所示，在时间t内两列火车行驶的路程的和等于两车厢长度的和

因此，两列火车相互经过的时间是

（2）如果选取列车B为列车A运动的参考系，如图2(c)所示，由于列车B反向行驶，其速度应该是-vB，因此由公式（3）可得列车A相对于列车B的速度是

两车相互经过时，A相对于B运动的路程是xAB= lA+ lB，因此两车相互经过的时间是

从等式（6）和（8）可以看出，无论选择地面作为参考系还是选择运动的物体作为参考系，所得的结论是一样的。也就是说，物理结论不会因为参考系的选择而发生变化。

第二种情况，假设两列火车相对于地面分别以加速度aA和aB从静止开始匀加速行驶。（1）如果选取地面为参考系，与上面的图2(b)所示情况一样，在时间t内两列火车行驶的路程的和等于两车厢长度的和

因此，两列火车相互经过的时间是

（2）如果选取列车B为参考系，由于列车B沿与x轴相反的方向加速行驶，其加速度应该是-aB，因此由公式（4）可得列车A相对于列车B的加速度是

两车相互经过时，A相对于B运动的路程是xAB= lA+ lB；因此，由A相对于B的运动方程得，A经过B的时间是

等式（10）和（12）说明，无论选取地面为参考系还是选择加速运动的列车为参考系，所得的结论是一致的。

如果两列火车沿相同的方向行驶，用相同的方法可以得出类似的结论。这个例子告诉我们，对于纯运动学的问题，可以选择任何物体为参考系；选择不同的参考系，对运动的描述过程不同，但结论是一致的。具体选什么物体作为参考系应视具体问题而定。比如上面的例子，选择运动的列车为参考系就使得问题变得简单明了。

3 动力学中的参考系

3.1 牛顿运动定律的适用条件

动力学研究的是物体受到的力与运动变化之间的关系。经典动力学的理论基础是牛顿运动定律[1]。牛顿第一定律表明，如果物体没有受到合外力的作用，物体的运动状态不会发生变化，也就是没有加速度。牛顿第二定律给出了物体的加速度与受到的合外力之间的等量关系，F合=ma 。当F合=0时，有a=0，因此牛顿第一定律是第二定律的一种特例，所以动力学的核心就是牛顿第二定律。任何定律都有其适用的范围，超出该范围，定律就不再成立。除了宏观、低速的限制外，参考系的选择也对牛顿运动定律提出了重要的限制条件，牛顿运动定律并非在任何参考系中都成立。如图3所示，小球置于静止的车厢内，当车厢启动向右加速行驶时，我们会看到小球沿桌面向左滚动。如果选择车厢为参考系，在水平方向没有受到任何作用力的情况下，小球相对于桌面向左加速运动，这明显违背了牛顿第一定律。但如果选择地面为参考系，小球仍然静止，与牛顿定律相符。我们将牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系，如果不考虑地球的转动，地球近似为惯性参考系。

图3 静止和加速运动的车厢

3.2 升降机内的物体

如图4所示，升降机的轿厢内有一个体重计，一个质量为m的物体放置在体重计上，当升降机加速运动时，问体重计的读数是多少。受地球引力作用，物体的重力是G = mg。体重计的读数是物体对体重计的压力，这个压力是接触面间的弹性力，与体重计对物体的支持力FN是一对作用力与反作用力。根据牛顿第三定律，体重计的读数应该等于FN。在重力和支持力的共同作用下，物体随升降机在竖直方向相对于地面做加速运动。对于质量为m的物体，选取地面为参考系，取向上为正，由牛顿第二定律得

因此体重计的读数是

由等式（14）可知，当升降机静止或匀速运动时，FN=mg ，这时体重计的读数就是通常所说的物体的重量；当升降机加速上升时，FN＞mg，体重计的读数大于物体的重量，这就是超重；当升降机加速下降时，FN＜mg，这就是失重。

图4 加速运动轿厢内的物体

在这个例子中，选择地面为参考系，计算的结论是很自然的结果。但如果选择升降机为参考系，结果就费解了。升降机向上加速运动时，体重计的读数大于物体的重量；升降机向下加速运动时，体重计的读数小于物体的重量。也就是说物体在竖直方向受到的合外力不等于零，但物体一直静止在升降机内，相对于升降机并没有运动，所以牛顿运动定律不成立。因此应用牛顿运动定律时，必须选择地面作为参考系。出于解决问题的需要，如果非得选取其它参考系，就必须引入假想的惯性力来修正。例如，如果选择转动的物体为参考系，就得引入假想的离心力。

4 相对论中的相对性与参考系

以牛顿运动定律为基础的经典力学只适用于做低速运动的宏观物体，当物体的运动速度接近于光速时，牛顿运动定律不再成立，此时应该采用相对论来描述物体的运动。在相对论中，运动的相对性和参考系的选择尤为重要。

图5 运动车厢内台面的长度

相对论的重要结论之一是物体的空间尺度随运动发生变化。如图5所示，在一个相对于地面以速度v做匀速运动的车厢内有一个台面，该台面沿运动方向的长度是多少？有两种方法测量这个长度：一是站在车厢内测量，此时台面相对于测量者静止，设此时测量的长度是l0；二是站在地面上测量，此时台面相对于测量者向右运动，设此时测量的长度是l。狭义相对论告诉我们[2]，这两个长度之间有关系式

式子中的c表示光在真空中的传播速度。由于物体的运动速度不可能大于光速，v＜c，所以有l＜l0，这就是运动的长度缩短。理解这个式子的核心就是运动的相对性，l0是相对于物体静止的观测者测量的长度，也就是物体相对于静止参考系的长度；l是相对于物体运动的观测者测量的长度，也就是物体相对于运动参考系的长度。因此，在提及物体的长度时，必须明确是在什么参考系中测量的长度。狭义相对论的另一个重要结论时间的相对性，也与这个相同，即在提及时间间隔时必须明确是在什么参考系中测量的时长。

5 结论

运动是绝对的，但对运动的描述又是相对的，研究物体的运动必须选定参考系。选择参考系的实质是比较被观测物体的运动参量与参考系的参量的差异。在运动学的研究中，可以选择任何物体作为参考系，可以视具体的研究情况而定。选择不同的参考系，对运动的描述过程是不一样的，但所得的物理结论是一致的。动力学研究的理论基础是牛顿运动定律，牛顿运动定律只在惯性参考系中成立，因此在动力学研究中只能选取地面或相对于地面做匀速直线运动的物体作为参考系。如果非得选择非惯性参考系，必须引入虚拟的惯性力作为修正。

[1] 漆安慎，杜婵英.力学[M]. 北京：高等教育出版社，1997

[2] 王正行.近代物理学(第二版)[M]. 北京：北京大学出版社，2010

G634.7

：A

：1003-7551(2016)02-0020-05

2016-05-01

† 通讯作者：hanlanlan2@sina.com