立体几何重点知识与题型分析

卢玉才

一、面积、体积和距离的计算

重要知识

类型名称侧面积表面积体积备注柱体圆柱S侧=2πrhS侧=2πrh

+2πrV=πr2hr是底面半径

h是圆柱的高棱柱S侧=ch

（直棱柱）S侧=ch′

（正棱柱）S全=S侧

+2S底V=Shc为底面的周长

h′为斜高

S为底面积

h为几何体的高锥体圆锥S侧=πrlS侧=πrl

+πr2V=13πr2hr是底面半径

l是母线长棱锥各侧面

积之和各面面

积之和V=13ShS为底面积

h为几何体的高球S球=4πR243πR3R为球的半径题型分析

例1（1）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1，四棱锥OADD1A1的体积为V2，则V1V2的值为.

（2）已知圆锥的底面半径为1，高为22，则该圆锥的侧面积为.

解析：（1）设AB=a，AD=b，A1A=c.

则V1=13S△ABD·12A1A=abc12.

V2=13SADD1A1·12AB=abc6.∴V1V2=12.

（2）∵底面半径为1，高为22，母线长

l=（22）2+12=3，∴圆锥的侧面积为：

S侧=12·2πr·l=12×2π×1×3=3π，故该圆锥的侧面积为3π.

评注：三棱锥体积的计算，只需找到合适的顶点和底面，而四棱锥体积的计算，关键在高的计算，圆锥中的半径、高和母线长，它们的关系可以通过一个直角三角形来沟通计算.

二、平行关系、垂直关系

重要知识

1.平行关系

类型证明方法直线与直线平行若a∥b，b∥c，则a∥c若a∥α，aβ，α∩β=l，则a∥l若a⊥α、b⊥α，那么a∥b若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b直线与平面平行若aα，a∥b，bα，则a∥α若α∥β，mα，则m∥β平面与平面平行若aα，bα，α∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β2.垂直关系

类型证明方法直线与直线垂直若a，b所成的角为90°，则a⊥b若a⊥α，bα，那么a⊥b直线与平面垂直若l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b=A，则l⊥α若α⊥β，aα，α∩β=b，a⊥b，那么a⊥β平面与平面垂直若aα，bα，a∥β，b∥β，a∩b=A，则α∥β若a⊥α，a⊥β，则α∥β题型分析

例2如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD；

（2）设PD=AD=2，求点D到面PBC的距离.

解析：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2，∴BD⊥AD，又由PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，可得BD⊥PD.∴BD⊥面PAD，PA面PAD，∴PA⊥BD.

（2）法1：在平面PDB内作DE⊥PB，垂足为E.∵PD⊥底面ABCD，BC面ABCD，∴PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD，又AD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，又DE面PBD，∴BC⊥DE.又DE⊥PB，PB∩BC=B，则DE⊥平面PBC.由题设知，PD=AD=2，则BD=23，PB=4，根据DE·PB=PD·BD，得DE=3，即点D到面PBC的距离为3.

法2：设点D到平面PBC的距离为d，由（1）得BD⊥AD，∴AB=4，VPBCD=12VPABCD=12×13×SABCD×PD=16×2×4×32×2=433，又VPBCD=VDPBC=13S△PBC×d，由……