简化解析几何运算有技巧

刘春雷

一、巧用定义，直奔主题

例1双曲线x24-y25=1上有一点A到左焦点的距离为52，则点A的坐标为.

解析：设点A的坐标为（x1，y1）.由双曲线方程知a=2，b=5，c=3.

常规思路是解方程组x214-y215=1

（x1+3）2+y21=52.但如能考虑利用统一定义，则可化繁为简.

因为双曲线的左准线为x=-43，离心率为32，则52（-43）-x1=32，解得x1=-3.

故y1=±5（x214-1）=±52.所以点A的坐标为（-3，±52）.

评注：这里要注意的是椭圆（双曲线）有两个焦点，两条准线，利用统一定义时，应是曲线上的动点到某一焦点的距离与它到相应准线的距离之比才是离心率.

二、数形结合，直观获解

例2已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

解析：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求PA+PF的问题可转化为求PA+d的问题.

将x=3代入抛物线方程y2=2x，得y=±6.

∵6>2，∴A在抛物线内部，

如右图.设抛物线上点P到准线l：x=-12的距离为d，由定义知PA+PF=PA+d，当PA⊥l时，PA+d最小，最小值为72，即PA+PF的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，∴点P的坐标为（2，2）.

评注：在抛物线问题中，通常可以借助数形结合，将焦点弦或焦半径，与相关点到准线的距离相互转化，从而可以免除解方程组的繁琐，大大减小运算量.

三、几何性质，助你省力

例3已知圆O′：（x-2）2+y2=4，动圆M（在y轴右侧）与y轴相切，又与圆O′外切，过A（4，0）作动圆M的切线AN，求切点N的轨迹.

解析：设动圆M与y轴切于点B，动圆M与定圆O′切于点C，切点在MO′上，

∵MB∥AO′，故∠BMC=∠CO′A且BMAO′=CMCO′，

∴△BMC∽△AO′C，∴∠MCB=∠O′CA，

∴B、C、A共线.由切割线定理，|AN|2=|AC|·|AB|（1）.

又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故|AC|·|AB|=|AO|2=16（2）.

由（1）、（2），知|AN|=4.

故N的轨迹为圆（x-4）2+y2=16（（x，y）≠（0，0））.

评注：解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往……