平面解析几何中的典型错误及错因剖析

朱振华

平面解析几何是高中数学教材中的重要内容之一，也是高考考查的重点知识，同时所涉及的知识甚多，能力要求也高.复习这部分内容时同学们要理清概念，灵活地运用思想与方法解决问题，特别要注意对平时训练中出现的易错题多加分析.下面从剖析解析几何的典型易错知识与方法加以分析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.

易错剖析一：基本概念理解偏差致错

例1经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是.

错解：由题意，设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k无解，故不存在这样的直线.

错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.

正解：由题意设所求方程为y+4=k（x+5），即kx-y+5k-4=0.

由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.

故所求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

评注：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，理解入陷阱，易致错.

易错剖析二：知识掌握不重细节致错

例2过点（3，3）且横、纵截距相等的直线方程.

错解：设所求方程为xa+ya=1，将（3，3）代入得a=6，得直线方程为x+y-6=0.

错因分析：上述错解所设方程为xa+ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（3，3）的直线y=x也符合条件，主要审题不全致错.

正解：x+y-6=0或x-y=0.

例3过点A（5，10）且到原点的距离是5的直线的方程为.

错解：设直线斜率为k，其方程为y-10=k（x-5），即kx-y+（10-5k）=0.

由点到直线的距离公式，得|10-5k|k2+1=5，解得k=34.

故所求直线方程为3x-4y+25=0.

错因分析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”，其实x-5=0也符合题意.