随机事件独立性的三个认识误区

周越

摘 要：事件的独立性是概率论中的重点和难点。通过详细分析独立性的三大认识误区，探索独立性与事件发生、两两独立和互斥之间的区别和联系，进一步加深对独立性的理解。

关键词：独立性；两两独立；互斥

中图分类号：G4

文献标识码：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.29.104

事件的独立性是概率论中的重点内容，它的引入在很大程度上简化了乘法公式的形式，使得求解多事件同时发生的概率更加简便。同时，事件的独立性是概率论中的难点内容，多数学生，尤其是初学者，由于没有比较全面、深入地理解事件独立的定义，常常对独立性产生认识上的误区。本文通过深入分析三大认识误区，以期对学生学好这部分内容有所帮助。

误区一：如果事件A与B相互独立，则事件B发生与否不受事件A发生与否的影响。

为了更好的分析误区一，我们从两事件独立的定义出发。现有的教材中，对于两事件的独立性，大多采用以下两种方式：

定义1：两个事件A与B，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件A与B是相互独立的。

定义2：如果事件A与B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B相互独立。

定义1是随机事件独立性的直观定义，但是具有局限性，如果两个事件中至少有一个事件发生的概率为0时，很难通过定义1判定这两个事件是否独立。定义2弥补定义1的不足，因为如果P（A）=0或P（B）=0，P（AB）=P（A）P（B）这个等式必然成立，进一步地，我们还可以证明更为一般的结论概率为零的事件与其它任何事件都相互独立。

通过定义我们可以发现，如果事件A与B相互独立，则事件B发生的概率不受事件A发生与否的影响，并非B发生与否不受事件A发生与否的影响。这也告诉我们，独立性是建立在概率层面的。我们通过一个具体的例子加以说明。

例1：掷一次骰子，记录投掷的点数。记

A=1，6，B=1，2，3，A∩B=1，

P（AB）=1/6，P（A）=1/3，P（B）=1/2，P（AB）=P（A）P（B）

根据定义可得事件A与B相互独立。我们看一下事件B发生是否受到事件A发生与否的影响。就例1而言，事件A发生是指1、6这两个样本点中有一个出现，如果是1这个样本点出现引起的A发生，此时事件B也发生；如果是6这个样本点出现引起的A发生，此时事件B不发生。由此看来，事件B的发生确实受到事件A发生与否的影响，但事件B发生的概率却没有受到事件A发生与否的影响。

误区二：两两相互独立则三个事件独立。

为了更好的分析误区二，我们从三事件独立的定义出发。

定义3：对于任意三个事件A，B，C，如果

（1）P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C）

（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

则称事件A，B，C相互独立。

定义3中的（1）式成立，表明事件A，B，C中任意两个事件都独立，称为A，B、C两两独立。不少同学认为该定义中的（2）式是无用的，认为由定义3中的（1）式可以推出（2）式。其实，这种看法是不正确的。我们通过两个具体的例子加以说明。

例2：一个正四面体，第一面涂红色，第二面涂白色，第三面涂黑色，第四面涂红、白、黑三色，抛掷此物体，记事件A=朝下的面有红色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（AB）=P（BC）=P（AC）=1/4，

P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）

定义3中（1）式成立，A、B、C两两独立，但是

P（ABC）=14≠P（A）P（B）P（C）

定义3中（2）式不成立。通过此例，我们可以发现，两两独立不能保证三个事件一定独立。

例3：一个正八面体，第1，2，3，4面有红色，1，2，3，5面有白色，1，6，7，8面有黑色，抛掷此物体，记事件A=朝下的面有红色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/8=P（A）P（B）P（C），

P（AB）=38≠P（A）P（B）

通过此例，我们可以发现，定义3中（2）式成立不能保证（1）式成立，即仅仅通过定义3中的（2）式，甚至还不能保证三个事件中任意两个是相互独立的。

误区三：若A与B独立，则A与B互斥；若A与B互斥，则A与B独立。

通过例1可发现，A与B独立（此时P（AB）=P（A）P（B））），但A与B并不互斥（A∩B=1≠φ），所以独立不一定能推出互斥；反之，在例1中定义事件C=4，5，A与C互斥（A∩C=φ），但A与C不独立（P（AC）≠P（A）P（C）），所以互斥也不一定能推出独立。

其实，独立与互斥之间还是存在内在的联系，下面给出的定理1揭示了两者之间的关联。

定理1：如果事件A和B满足P（A）>0，P（B）>0，则A、B独立与A、B互斥不能同时成立。证明：（1）首先证明若A与B互斥，则A与B一定不独立。若A与B互斥，即（AB=φ），则P（AB）=O，又P（A）P（B）>0，故（P（AB）≠P（A）P（B）），即A与B不独立。

（2）下面证明若A与B独立，则A与B一定不互斥。若A与B独立，则P（AB）=P（A）P（B）>0，故（AB≠φ），即A与B不互斥。值得一提的是，此定理的前提P（A）>O且P（B）>0是必不可少的。例如，不可能事件与其它任一事件A是既独立又互斥。

上述三个误区，都是在多年的教学中，通过和学生的深入沟通总结的。深度分析这三个误区，有助于学生更加深入地理解独立的定义，掌握独立与互斥之间的联系与区别，以及运用独立性解决实际问题。下面我们以独立性在比赛机制方面的应用为例说明独立性在解决实际问题中的重要作用。

例4：甲乙两名选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，试分析对于甲而言比赛采用三局两胜制还是五局三胜制更有利？

解：记A=甲胜，通过题目我们可以发现比赛中甲胜或者乙胜相互独立。

（1）三局两胜时，P（A）=C23（0.6）20.4+C33（0.6）3=0.648；

（2）五局三胜时，P（A）=C35（0.6）3（0.4）2+C45（0.6）4（0.4）1+C55（0.6）5=0.674。

由此，我们可以判别五局三胜对甲更有利。

如今，概率在经济、计算机、交通和机械工业等诸多方面都有着重要的应用。概率论研究对象的随机性，决定了概率问题解决的方法与其它数学问题有很大不同，易混淆和难以理解的概念也更多，这就要求教师在授课的过程，要选用接近生活的实例为引导，激发学生的学习兴趣，提升学生学习的主动性，这对于学生学好概率论具有非常重要的作用。

参考文献

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]张福利.随机事件独立性的教学探讨[J].产业与科技论坛，2010，（8）：212-213.

[3]甘媛.随机事件独立性的一些研究探讨[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2015，（5）：63-65.