以退求进解答一道代数题*

张丽玉

华东师范大学数学系 (200241)

以退求进解答一道代数题*

张丽玉

华东师范大学数学系 (200241)

数学大师华罗庚曾说：“先足够地退，退到我们容易看清楚问题的地方，看透了，钻深了，然后再上去.这是学好数学的一个诀窍.”下面通过一道代数题的解答来说明以退求进的解题策略.

原题在14、24、34、…、20174之间用加减号连接，求能得到的最小的非负整数.

面对这么一道题，可能一时不知道如何动笔.我们可以问自己：“见过类似的，但稍简单的题目吗？”也许见过，也许没见过.如果没见过，我们又可以问自己：“我能对这道题目特殊化吗？”比如次数小一些，比如项数少一些.下面我们就从较小次数出发，逐步解决原题.

铺垫题一：在1、2、3、…、2017之间用加减号连接，求能得到的最小的非负整数.

这个非常简单，易知每四个连续正整数用加减号连接可以得到0，这样我们通过适当地添加加减号可以得到的最小的非负整数为1，比如1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+2014-2015-2016+2017=1.

铺垫题二：在12、22、32、…、20172之间用加减号连接，求能得到的最小的非负整数.

仿照铺垫题一，四个连续正整数的平方用加减号连接还可以得到0吗？验证一下22-32-42+52=4.可惜了，未能得到0，但不要气馁，接下来再验证后面四个连续正整数的平方，62-72-82+92=4.这样一来我们有 22-32-42+52-62+72+82-92=0.任意八个连续正整数的平方用加减号连接都可以得到0吗？事实上，这个结论是正确的，证明如下：设n为第一个正整数，则n2-(n+1)2-(n+2)2+(n+3)2-(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2-(n+7)2=0.由于2017被8除余1，于是我们保留12，其余的每八个凑成0，可以得到的最小的非负整数为1.

铺垫题三：在13、23、33、…、20173之间用加减号……