发现与利用对称性在数学教学中的作用

杨婷婷1

摘 要 自然界中存在许多对称性的事物，在数学教学中发现与利用对称性对提高学生学习兴趣及效果具有重要作用。本文就中等职业学校数学教学中对称性的发现与利用进行了探讨，与同行们商榷。

关键词 数学教学 对称性 发现与利用

中职学校的孩子，由于小学、初中学习过程中的懈怠，导致大多数人数学基础较差，对数学学习缺乏兴趣，更谈不上热爱数学，钻研数学了。他们很多人没有感受过数学美，也不具备发现数学美的能力。其实数学和艺术、语言学一样都具有自己独特的美，其借助方法、内容、结构等表现出自己独特的美。数学美有简单美、统一美、不对称美，其中最为突出的、利用最多的就是对称美。它能给人以一种均衡、圆满、和谐、统一的美感与享受。现实世界客观事物中存在的空间对称包括镜像对称、轴对称、中心对称等，时间对称包括旋律、周期等，还有许多更为复杂的对称。这些对称点缀了生活，丰富了世界。教师在教学过程中，若能有意识地引导学生发现数学美，不仅可以培养学生的美感，帮助他们理解记忆定理、定义、公式，更能满足他们的成就感，激发他们学习数学的兴趣。在具体解题过程中这种发现美的能力能增强学生的解题灵感，帮助他们发现题目特性，有针对性地解决问题，简化解题过程，从而提高解决问题的能力。

对称从广义上来说，是指变换条件下的不变现象，即物体在某种变换条件下，相同部分按照某种规律重复；狭义上来说则指的是一个物体中含有数个等同部分，对应部分重合。对称存在于数学学科里的方方面面：奇数和偶数、质数和合数、符号、公式、运算、平行四边形、等腰三角形、圆、椭圆、心脏线、圆柱、球等等，不胜枚举。

1发现与利用对称性帮助学生理解记忆公式、定理、定义

我们在学习相反数的几何意义：数轴上与原点距离相等的两个点对应的实数互为相反数时，也曾这样表述：在数轴上互为相反数的两个实数（0除外）对应的点关于原点对称。如图1，学生可以直观地发现互为相反数的两个数对应的A、B两点到原点O的距离AO=BO。

2发现与利用对称性帮助学生解题

数学题目中有借助形式、关系直接表现出来的对称，也有隐含的对称，发现这些对称，并且充分利用这些对称，常常可以有效的理清解题思路，减少解题时间，化简解题步骤，达到事半功倍的效果。

著名的高斯定理就是一种变相的对称（首位两项的和、第二项和倒数第二项的和都相等）。在化简题中，对称也是经常出现的。若能及时发现这种在形式上直接表现出来的对称关系，就可迅速确定解题方向和方式。

代数问题中的对称常需要自己观察和发掘，而几何题常常将对称直接点明，此时解题的关键就在于图形的描画和对对称性质的理解及应用。

例2：求解：x28513=0

分析：本题不能直接利用因式分解法，如果选择公式法数字太大计算量也大，此时就可以考虑将其转化为二次函数，利用图像性质解题。

函数奇偶性反映了函数自身图像的对称性：偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。借助以上特殊情况的证明思想，可以获得更为一般的结论：若函数F（x）对于任意x∈D都有F（a+x）=F（a-x），则函数图像关于直线x=a对称。以上结论成为某些看似无法解决的问题的解题钥匙。

例3：已知对任意x∈D，函数F（x）都有F（3+x）=F（3-x）。如果方程F（x）=0有六个不同的实数根，试求六个实数根的和。

分析：由F（3+x）=F（3-x）知函数F（x）的对称轴为x=3。方程F（x）=0有六个根，即是指F（x）与x轴有六个交点，并且这六个交点两两关于对称轴x=3成轴对称，根据轴对称性质可解。

解：由题意知：函数F（x）图像的对称轴为x=3，且与x轴有六个交点，六个交点两两关于对称轴x=3对称。

设方程F（x）=0的六个不同的实数根为x1、x2、x3、x4、x5、x6，即函数F（x）的图像与x轴有A（x1，0），B（x2，0），C（x3，0），D（x4，0），E（x5，0），F（x6，0）六个交点，不妨再设A与F、B与E、C与D关于直线x=3对称。

在高等数学的积分和微分计算中，若能巧妙地利用对称性和各类几何意义，就可以简化计算，降低难度。

3发现与利用对称性对学生进行美育教育，寓美育教育于数学教学之中

在数学教学中，教师可以结合原理的讲解，补充一些与现实生活中有关对称性（对称美）的实际例子，扩大知识的视野，从中发现、理解对称美。如在讲解圆柱体、立方体时，可以举出身边的一些大楼、桥梁等的对称性设计。通过学生熟悉的身边事例，进行形象直观的教学，甚至可以组织学生到现场参观，提高学生对数学美的认识及审美情感，寓美育教育于数学教学之中，激发学生学习数学的积极性，提高学习效果。

4结语

以上举例为充分利用对称性可以辅助记忆、帮助理解知识点，简化计算，提示解题思路提供了佐证。学习是件辛苦的事情，但是如果能够发现其中的美，发掘其中的趣，就可以苦中作乐。孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”因此，在数学教育教学过程中，教师要重视对称应用，引导学生以对称的视角发现对称美，恰当的利用对称美，从而充分发掘学生的学习兴趣，发挥学生的学习主动性，培养学生发现美、欣赏美、创造美的能力，最终达到“寓教于乐”。

参考文献

[1] 刘祚常.利用对称性解题的几种方法[J].宁德师范学院学报，2014，5（2）.

[2] 钱双平.对称性在高等数学解题中的应用——數学美学方法的应用[J].云南电大学报，2004（6）.

[3] 同济大学应用数学系.高等数学（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002.