巧设实例提高经管类学生学习无穷级数概念的教学效果

张丹丹

摘 要：无穷级数在科学研究和生产生活中都有非常广泛的应用，但是无穷级数的概念，对大多数学生来说显得比较抽象。特别对经管类这种文科学生来说，想让他们真正理解无穷级数的概念，必须在课堂教学中以实际生活中生动有趣的实例引出无穷级数的概念，引导学生建立起无穷级数的概念，并对此概念有了较深入的理解。从而提高学生的学习兴趣，收到较好的教学效果。

关键词：无穷级数 调和级数 教学效果

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）09（b）-0127-02

高等数学相对于初等数学而言，研究的对象和方法显然都要复杂得多。很多定义、定理、证明、都具有高度的抽象性和非常强的逻辑性。对刚刚步入高等学府的大学生来说，意味着思维方式的转变，很多学生不适应，于是很容易对学习高等数学这门学科产生恐惧心理，从而失去了学习高等数学的兴趣。而且对于较接近实际的问题，学生更是觉得无从着手。兴趣是最好的老师， 成功的教学就是不断激发兴趣这一非智力因素，它是消除学生厌学、恐惧心理，提高高等数学课堂教学质量和教学效果的重要途径。

无穷级数作为高等数学中相对独立的章节，在科学研究和生产生活中都有非常广泛的应用，但是无穷级数的概念，对大多数学生来说显得比较抽象。因此，在课堂教学中可以用实际生活中生動有趣的实例引出无穷级数的概念，引导学生建立起无穷级数的概念，并对此概念有了较深入的理解，从而提高学生的学习兴趣，收到较好的教学效果。将文科学生所擅长的形象思维与数学概念、定理中的形象因素结合是提高教学效果的关键。

1 实例引入，巧设疑问

芝诺提出了历史上非常著名的几个悖论——两分法悖论、阿基里斯悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论，其中阿基里斯悖论在无穷级数教学时是多数教师普遍引用的教学实例[1-2]。但这个例子对于经管类这种文科专业的学生来说不但趣味性不强，并且难懂。不如举一个经济学中的有关实例作为引例更能激发他们的学习兴趣。

引例：每当经济陷入低潮，国民经济发展遇到严重困难时，国家总会采取一些积极的经济货币政策来刺激经济的发展，通常国家采用最多的是两项政策：银行降息和扩大政府固定资产投资。那么这背后深层次的原因是什么？

抛出实例：如襄阳市政府在经济上投入1亿元人民币以刺激消费，据以往消费习惯的统计数据看，襄阳市的每个经营者和每个居民都将自己收入的20%存进银行，消费掉剩下的80%。那么这笔投资会带动多少国民生产总值的增长？

分析：从最开始的1亿元，初次消费了0.8亿，而产生的0.8亿消费又成为别的企业及个人的收入，他们又消费掉其中的80%，即消费了0.8*0.8亿，如果按照这种情况消费下去，那么由最初的1亿元投资引起的消费金额就构成一个等比数列：

这是个无穷多个数相加求和的问题，那么这无穷多项相加求和是否有意义？若有意义，又该怎样判断及求和呢？

2 建立概念

初等数学中，我们只会计算有限个数的和，学生不但不会计算无穷多个实数的和，甚至都不知道什么是无穷多个数的和。对他们来说，无穷多个实数的和是一个全新的、未知的概念。要引导学生发现这个新概念其实并不是孤立的，它与我们已知的有限个数的和紧密联系着。最终，我们发现由有限个数的和转化到无穷多个数的和可以借助上册内容中的极限这个工具来实现。由此引出无穷级数的定义。

定义：给定一个数列则由这数列构成的表达式叫做无穷级数。[3]

称作无穷级数的部分和。则为级数的部分和数列。 若，则称级数收敛，这时极限叫做无穷级数的和。若不存在，称无穷级数发散。

由刚才的定义可知，只有当级数收敛时，无穷多项的和才有意义，而且这无穷多项的和就是无穷级数的部分和数列的极限。

3 回顾讲解实例

4 设置悬念，引出新内容

通过定义，容易得出结论：若一个级数

收敛，其一般项必满足条件。反过来，若，那级数是否一定收敛？下面的例子可以告诉我们答案。

例：判断调和级数的敛散性。

很多同学直觉上觉得这个级数是收敛的，但事实上，这个级数很难用级数收敛的定义来判断它的敛散性，从调和级数的形式来看，我们求不出它的部分和。那么除了用级数的定义来判断级数的敛散性，还有什么其他判断级数收敛性的方法？这样就适时地抛出了这个问题，让学生期待下节课学习其他判断级数收敛性的方法。

显然产生矛盾，因此调和级数并不像直观感觉的那样，实际上调和级数是发散的，它是目前已知发散最慢的无穷级数，它的前1亿项的和约为21，前1万亿项的和约为28。

5 结语

也就是说只是级数收敛的必要条件。那么请同学们思考级数收敛与否，是否与级数一般项趋近于0的速度快慢有关呢？从而为下节内容中讲正项级数的比较审敛法做好铺垫。

在整个教学过程中不断地设置问题，用与学生专业背景相关的一些实际问题及与直觉不同的实例引导学生去思考，通过分析讨论解决问题来激发学生学习的兴趣，充分调动学生的学习积极性，这样教学效果就会事半功倍。

参考文献

[1] 孙宝法.加强数项级数教学的趣味性初探[J].合肥教育学院学报，1999（2）：28-29.

[2] 鲍倚敏.重视数学新概念的引入方法[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2003（3）：48-49.

[3] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.