浅议单调有界函数的极限

邓敏

摘要 本文阐述、举例说明了由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”这一结论的理由，并进一步讨论了单调有界函数极限存在的条件。

关键词 单调有界，数列，函数，极限，极限过程

一、引言

“单调有界数列必有极限”是微积分学的基本定理之一，是《高等数学》中证明第二个重要极限公式的一个重要预备定理， 因为数列是一种特殊函数， 所以很多学生就想当然的认为“单调有界函数必有极限”，甚至有些教师在讲到函数的极限时， 也利用“单调有界数列必有极限”这个结论得出“单调有界函数必有极限”的结论， 那么“单调有界函数”是否真的就“必有极限”呢？如果结论是否定的，那么“单调有界函数”的极限到底是怎样的呢？其极限和什么因素相关呢？

二、单调有界数列的极限

数列是定义在自然数集上的一类特殊函数， 数列的极限比较简单， 因为其自变量的变化过程只有一个， 即 （实际上是n→+∞），所以其极限仅取决于它的“单调性”和“有界性”，“单调有界数列必有极限”这一定理就是对数列极限情况的具体诠释。

关于“单调有界数列必有极限”， 很多《高等数学》教材上虽然没有给出完整的证明却都有具体表述如下：“1、如果数列﹛Xn﹜是单调递增有上界的数列， 则该数列一定有极限，且如果M是其最小上界（即上确界），则当 时，数列﹛Xn﹜收敛于M；2、如果数列﹛Xn﹜是单调递减有下界的数列， 则该数列一定有极限，且如果m是其最大下界（即下确界），则当 时，数列﹛Xn﹜收敛于m。

“单调有界数列必有极限”的描述已经包含了极限过程是 ， 所以我们只要说求某个数列的极限（不必说n是怎么变化的），大家都明白的。

三、单调有界函数的极限

（一）单调有界函数的极限

函数的极限相比于数列的极限就复杂多了， 其极限是由函数本身的解析表达式、函数满足的一些条件以及极限中自变量的变化趋势共同决定的。因此，在讨论函数的极限时， 我们既要考虑函数本身， 例如函数的解析表达式、函数满足的一些条件等， 还要考虑极限中自变量的变化趋势。而一般自变量的变化趋势又有以下两大类： （又分 和 ）和 （又分 和 ）。

“单调有界函数”的描述只强调了函数本身所具有的性质---单调、有界， 并没有给出自变量的变化过程。不像“单调有界数列必有极限”的描述中已经包含了极限过程是 ， 所以我们不能由“单调有界数列必有极限”得到“单调有界函数必有极限”的结论。[1]

下面的“例1”说明：单调有界函数， 对于不同的自变量的变化过程， 其极限可能存在， 也可能不存在。

例1： 函数f（x）= 在其定义域 内是单调有界递减函数，且有 ， ，但是当 时f（x）= 的极限不存在，即 不存在。

（二）对“单调有界函数”的极限问题，一般结论就是“单调有界连续函数一定有极限”。 “单调有界函数不一定每点都有极限，但是每点都有单侧极限”。[2] 即设函数f（x） 是 或内的单调递增函数，則f（x）在 或内每一点x都有单侧极限，更确切些就是 ，此外如果 ，那么 ，关于单调递减的函数，显然有类似的结果。[3]

下面的“例2”就说明：在各定义区间内单调有界的函数，因为在定义域内某点不连续，所以函数在该点的极限不存在。

例2： 函数 在其两个定义区间内都是单调有界函数， 是f（x）在其定义域内的一个跳跃间断点， 尽管函数f（x）在其两个定义区间内是单调有界函数， 但因 ， 所以当 时， 不存在。

（三）最后要说明的是，我们研究函数在 时的极限时还要看该函数在 的某个去心邻域内是否有定义；在研究 时的极限时，还要看是否存在正数X， 当|x|>X时该函数有定义。只有在满足以上前提条件下， 才可以谈这个函数此时的极限存在与不存在。这也就是前面所说的“函数满足的一些条件”所指的内容。

参考文献

[1] 罗铁山，王荣. 单调有界函数必有极限吗？[J].唐山学院学报，2007年， 20卷（4期）：103.

[2] 徐小湛. 单调有界函数的极限[[DB/OL]. http：//xuxzmail.blog.163.com/blog/static/251319162015191173764/.2015年2月 ，

[3]Rudin编著.数学分析原理（下）[M].北京：高等院校出版社.1992.