对比分析 把握本质

施丹桂

【摘要】鸡兔同笼是实验版教材六年级上册的内容，而2013版新教材则把其改编在了四年级下册，其与实验教材相比有较大的差别，教学目标中更注重解题策略多样性的教学，教学过程中更关注列表法和假设法的落实，这些改变给我们在教学中带来了新的困惑。本文针对这一教学内容，反复比较两版教材和教参，从理念引领、内容编排、教学方法等角度进行分析，并提出一些相应的教学策略。

【关键词】 鸡兔同笼 假设思想 数形结合 教学策略

一、背景

对于两版教材，笔者进行了以下比较：

对比一：

新版教材教学目标的描述更详细：在方法上注重列表法和假设法；在能力上体现了数学思维和应用能力的双管齐下。而实验教材的教学目标描述较为笼统：在方法教学上更关注方程法；在能力要求上较重视数学思维能力，略忽视实际应用能力。

对比二：

新版教材在内容编排上展示了列表法和假设法这两种解法；而实验教材则还要求学生掌握方程法。

基于这两版教材的比较，笔者产生了一些困惑：新版教材面对的是四年级的孩子，只需教学列表法和假设法，那么在这两种方法的教学力度上我们如何分配？我们怎么帮助孩子直观的理解抽象的假设法？假设法的教学起点在哪？列表法和假设法之间有联系吗？……带着这些困惑，笔者开始了这一内容的研究。

二、分析

基于对新旧教材的对比研读，针对这个内容的教学，笔者着重分析以下两个方面的问题：

1、列表法和假设法的教学力度如何分配，是两种孤立的方法吗？

2013版教师用书中指出：有序的列表可使学生经历数据逐一调整变化的过程，为后面探究假设法奠定了基础。其实列表法是假设鸡（或兔）的只数一个一个或几个几个的进行推理，假设法是全部假设为鸡（或兔）来推理，从思维层面上讲，两者都蕴含了“假设”的数学思维，并不是两种孤立的方法，我们可以说列表法是假设法的铺垫，假设法是对列表法的提炼。我们可以这样分析：如果夯实了列表法的教学，再引导学生对表格进行分析，假设法是否就水到渠成了？再者2013版教师用书中也明确指出：应明确列表的方法不只有教材呈现的一种方式。教材中所呈现的是列表法中较简单的一种。因此，教学中，可以引导学生先经历这样的“逐一”列表方法，然后再引导学生通过交流探讨发现列表的方法不是唯一的，列表的数据既可以逐一列出，也可以跳跃列举，还可以取中列举。综上两点，笔者觉得对于列表法我们不能轻视，应加大教学力度，让学生在体验多样列表的基础上感知列表的本质，为假设法做铺垫。

2、怎么突破假设法教学的“抽象”难点，它的教学起点在哪？

课程标准指出“要在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力”，而用假设法解题的过程其实就是培养学生逻辑推理能力的过程。“假设法”抽象的特点是学生理解的最大障碍，易造成“生搬硬套”现象：只会死记硬背的套用，而不能理解为什么假设是鸡（兔），先求出的却是兔（鸡）。因此我们首先要找到假设法的起点——列表法。所以在教学中首先要夯实列表法的教学，为假设法的理解积累推理经验；其次采用数形结合的方式，为抽象的理解呈现形象的视觉。

三、对策

基于以上的分析，笔者进行了课堂教学实践。

【書本例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？】

对策一：因“材”而施教，定合理目标，行有效教学。

美国心理、教育学家布卢母说“有效教学始于知道希望达到的目标是什么。”这句话阐述了教学目标的重要地位。既然新教材在教学理念、内容编排、方法选择……这些方面都进行了改革，那么我们也要因“材”施教，定恰当目标，行有效教学。据教材的情况，此内容应分两课时进行教学。第一课时应着力于列表法的教学；第二课时进行假设法的教学和模型的建立与内化。因此制定的教学目标如下：

第一课时

1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。

2、尝试用列表法解决“鸡兔同笼”问题。理解“逐一列表”、“取中列表”和“跳跃列表”，掌握用“列表法”解决问题的策略。

3、在学习“列表法”的过程中，经历数据调整的过程，引导学生有序思考，为“假设法”的探究奠定基础。

4、用“列表法”解决生活中的问题，培养学生有序思考和迁移类推能力，为模型的建立奠定基础。

第二课时

1、尝试用“假设法”解决“鸡兔同笼”问题，了解两种方法之间的关联性，体验“假设法”是“列表法”的提炼。

2、经历数形结合的过程，让学生在“形象图”与“抽象式”的对应过程中，理解“假设法”的实质，能用此法解决生活中的“鸡兔同笼”问题。

3、在解决问题的过程中，渗透“假设”的思想，培养学生的逻辑推理能力。

4、建立“鸡兔同笼”问题的数学模型，在解决问题的过程中内化模型。

对策二：多样列表，积累理解假设法的逻辑推理经验。

“列表法”是“假设法”的认知起点，是学生进行有序思考的开端。因此在教学的过程中我们应引导学生探究多种列表法，体验有序思考的过程，积累逻辑推理经验，为 “假设法”的学习预热。因此笔者对此进行了如下设计：

【教学片断1】

一、教学列表法

1、逐一列表，有序思考

笼子里有鸡和兔共8只，请你猜猜鸡和兔可能各有几只？

生：鸡1只，兔7只。

生：鸡2只，兔6只。

师：还有吗？那谁能按顺序不遗漏不重复的说一说？

生：鸡1只，兔7只；鸡2只，兔6只……

师：如果用列表的形式来表达你们的猜测，那就更清晰了。（课件展示表格）

师：除了这七种，我们还得考虑 “鸡0只，兔8只”或 “鸡8只，兔0只”这两种情况。（在表格中添上“鸡0只，兔8只”和“鸡8只，兔0只”）

师：你们看，表格有序的、不重复、不遗漏的罗列了我们的想法。可是到底是几只兔几只鸡能确定吗？

生：不确定

师：如果再增加一个条件：“从下面数，共有22只脚”，现在你知道有几只鸡几只兔吗？请你像刚才那样列表解决。

1、学生独立列表解决

2、展示学生作品

师：仔细观察，在例举的过程中，脚总数的变化有什么特点？

生：从左往右看，每次减少2只脚。

师：脚总数怎么会2个2个的减少呢？

生：因为鸡在增加，兔在减少。

生：因为每次鸡都增加了1只，兔都减少了1只。

师：是呀，从左往右，每次都把1只兔变成1只鸡，就少了2只脚。

师：如果脚要减少8只，要将几只兔换成鸡？怎样算的？脚要增加8只呢？

2、跳跃列表，感知假设

师：如果鸡和兔的数量较大，这样试起来就麻烦了！能不能跳着列表呢？请你们尝试一下。

生1：当鸡有8只兔有0只时，脚有16只，比26只少好多只脚，我就想：假设鸡5只兔3只，脚就有22只，还比26只少4只。那么还有2只兔被看成了鸡，所以我再假设3只鸡5只兔，脚就是26只了。

生2：我的更简单。当鸡有8只兔有0只时，脚有16只，比26只少10只脚。那1只兔看成鸡要少2只脚，要少10只脚，说明有5只兔被看成鸡，就从8只鸡中拿出5只变成兔，这样就有3只鸡，5只兔，脚刚好26只。

师：谁听明白了？

师：好方法！逐一列举再依次计算确实麻烦，跳着列举和计算，能更快地找到答案。

3、取中列表，深化理解

师：刚才还有同学是这样列表的，谁能看懂？

生：他把鸡和兔各看成4只，脚有24只，比26只少了2只脚，说明鸡被多看了1只，这样就要从4只鸡中拿出1只变成兔，那兔就是5只，鸡就是3只。

师：谁听懂了？

师：同学们真能干。原来用列举的方法解决鸡兔同笼问题时，我們可以一一列举，也可以取中列举，还可以跳跃着列举。

在这一教学过程中，从三种列举法入手，让学生深刻理解了列举的实质，为假设法的学习奠定了基础。

对策三：数与形呼应，搭建形象与抽像的桥梁。

新课标指出：要在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。而“假设法”的学习过程，是学生逻辑思维能力有效提升的过程。“抽象”是阻扰学生掌握假设法的最大障碍。因此在教学中，我们要设计相应的情景，让学生理解“为什么要假设？”、“假设法是怎么来的？”、“怎么假设？”、“怎么理解推理过程？”，带着这些目标，笔者设计了如下环节：

【教学片断2】

二、学习假设法

（在下列过程中“ ”代表“鸡”，“ ”代表“兔”。）

师：在上节课中，我们学习了三种列举法，其中有同学是这样列举的：

[当鸡有8只兔有0只时，脚有16只，比26只少10只脚。因为1只兔看成鸡要少2只脚，如果少10只脚，那就有5只兔看成了鸡，就要从8只鸡中拿出5只变成兔，这样就有3只鸡，5只兔，脚刚好26只。

现在你能用算式表示这样的思路吗？

（一）假设全是鸡

2×8=16（只）

兔：（26-16）÷（4-2）=5（只）

鸡：8-5=3（只）

生：我假设全是鸡，有16只脚，比26只少10只脚，然后一只鸡比一只兔少2只脚，共少了10只脚，一共少了5只兔子，那么鸡的只数就是8-5=3只。

师：听懂他的解释了吗？谁能再来说一说？

师：也就是说假设全是鸡，出现了什么情况？

生：会少10只脚。

师：怎么就会少10只脚？

生：因为有一些兔被看成了鸡。

生：因为一只兔看成鸡要少2只脚。

师：是呀，每一只兔看成鸡，就会少2只脚，就是少了1个2，10里面有5个2，少了5个2，所以兔子有5只。

T：我们可以结合图来表达这个过程。

如果我们假设全是鸡，就只有16只脚。

和26只脚相比，少了10只脚。因为每把一只兔看成一只鸡就要少2只脚

现在我们就把少的10只脚补上去。一次补几只脚？这样我们一共需要补——，所以兔共有——（同一张幻灯片中依次出示5个2）。

（二）假设全是兔

4×8=32（只）

鸡：（32-26）÷（4-2）=3（只）

兔：8-3=5（只）

师：能看懂吗？

师：是这个意思吗？

师：这样就——

生：多了6只脚。

师：是因为——

生：有些鸡被看成了兔子。

师继续出示相应的幻灯片，让学生在脑海中进行数形结合。

（三）比较深化，理解本质

师：同样是假设，为什么一个先求出的是鸡，另一个先求出的却是兔呢？

生：假设全是兔，鸡的脚被多看，所以先求出的是鸡；假设全是鸡，兔的脚被少看，那么先求出来的就是兔。

在次教学中，以列表法作为起点，再用“数形”结合的方式辅助理解，突破了假设法“抽象”的难点，让学生深刻理解了假设法的实质。

对策四：学以致用，在应用中建立并深化模型。

数学课程标准指出：要从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。是指我们要帮助学生建立数学模型，从“一个”推广到“一类”，再从“一类”中提取模型，总结规律和方法，最后应用到实际。因此在掌握了方法后我们还应引导学生学以致用，深化模型。

【教学片断3】

三、建立模型，运用深化

（一）建立模型

课件出示题：有若干只龟鹤头共8个，腿共26只。龟鹤各多少只？

师：接下来请你们独立解决，并想想和刚才的问题有什么共同点。

生独立解决再反馈。

生：其实他们是一样的，龟和兔都有4只脚，鹤和鸡都有2只脚，动物不同，方法相同。

师：是啊，这里的鸡不仅仅是鸡，兔也不只是兔，像这类问题在数学上叫鸡兔同笼问题。那么在我们的生活中，也有很多这样的问题。

（二）巩固提升

课件出示：一星题：1.张老师买来8盒月饼，共有42只，其中甲、乙两种包装，如下图所示。你知道甲、乙两种包装各买了几盒吗？

甲 乙

二星题：学校举行脑筋急转弯竞赛，决赛中每位选手应回答25道题，若答对1题得4分，若答错或不答1题倒扣1分。明明得了70分，他答错或不答共有几题？

本环节先让学生进行“龟鹤问题”与“鸡兔同笼问题”一一对应，理解两类问题的共同特点，建立模型；再拓展到生活中，辨别鸡兔同笼问题的实质，深化模型。

以上是笔者在一次次磨课实践中产生的一些粗浅的体会与感悟，如何让学生能更好地理解鸡兔同笼问题，建立鸡兔同笼问题的模型并灵活运用，还需要我们不断的研读教材与教学实践。

【参考文献】：

[1] 中华人民共和国教育部制定.数学课程标准（修订稿） [M].北京师范大学出版社，2011

[2]义务教育教科书.教师教学用书[M].人民教育出版社，2014

[3]杨忠.关于“鸡兔同笼”问题的教学思考[J].教育实践与研究，2013

[4]潘粉娥.“鸡兔同笼问题”教学设计[J].课程教材教学研究，2013

[5]邵丽芳.用列表法解决“鸡兔同笼”问题的教学实践与反思[J].教学月刊小学版，2011.12