聚焦外角和整体来思考

2017-03-04 01:27张立道
初中生世界 2017年9期
关键词:边数外角左转

张立道

聚焦外角和整体来思考

张立道

根据n边形的内角和等于(n-2)· 180°,我们可以推理得到n边形的外角和等于360°,也就是说随着多边形边数n的变化,多边形的内角和也在变化,而多边形的外角和是一个不变的量,都等于360°.解决与多边形内角或外角度数有关的问题时,往往从多边形的外角和入手,整体思考更显解法自然.现举例加以说明.

一、直接应用多边形外角和定理

例1若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是().

A.7B.8C.9D.10

【分析】本题给出条件“多边形的每一个外角都等于40°”,根据多边形的外角和都是360°,所以,直接用360除以外角的度数就可以求出多边形的外角个数,即多边形的边数,为360÷40=9.选C.

【点评】本题直接应用多边形外角和与每一个外角、外角个数即多边形的边数之间的数量关系求得多边形的边数.

例2(2016·台湾)如图1中的七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线相交于O点.若图中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为().

A.40°B.45°C.50°D.60°

图1

【分析】待求的∠BOD既不在三角形中,也不是多边形的内角,那我们就应考虑把∠BOD放入三角形中或构造成与多边形外角有关系的角,延长BC交OD于点M,这样,就可以直接根据多边形的外角和为360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°,再根据三角形的内角和为180°,∠OMC与∠BMD的和为180°,即可得出结论.

解:延长BC交OD于点M.

∵多边形的外角和为360°,

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

=360°-220°=140°.

∵三角形的内角和为180°,

∴在△OMB和△MCD中,∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°,

即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM= 360°,

∴∠BOD=40°.即本题应该选A.

【点评】本题考查了能否灵活地构造多边形的外角,直接应用多边形内角和与三角形内角和定理解决问题.

例3如图2,六边形ABCDEF中,AB∥DC,∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3+∠4=.

图2

【分析】由图形可知:∠1、∠2、∠3、∠4是六边形ABCDEF的四个外角,如果能求出这个六边形的另外两个外角,即可求解.故作出这两个外角∠MBC、∠BCN,并应用平行线的性质求得它们的和,进而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

解:作出六边形ABCDEF的两个外角∠MBC、∠BCN.

∵AB∥DC,∴∠MBC+∠BCN=180°.

∵六边形ABCDEF的外角和为360°,

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

即:本题应该填180°.

【点评】本题考查了能否构造多边形中具有特殊数量关系的两个外角,从而直接应用多边形的外角和定理求得四个角的度数和.

二、转化内角为外角,整体应用多边形外角和定理

例4(2016·扬州)若多边形的每一个内角均为135°,则这个多边形的边数为.

【分析】由于一个多边形的每一个内角都等于135°,所以这个多边形的每一个外角都等于45°,再根据多边形的外角和都是360°,即可求得多边形的外角个数为360÷45=8.

【点评】本题考查能否根据多边形的每个内角与外角互为邻补角,求得多边形的每个外角的度数,进而整体应用多边形外角和与每一个外角、外角个数的关系,求得多边形的边数.当然,本题也可以设边数为n,根据内角和可以用代数式表示为135n,也可以用代数式表示为(n-2)×180,则可建立方程为135n=(n-2)×180,解得n=8.

三、实际问题数学化,整体应用多边形外角和定理

例5(2016·十堰)如图3所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,……,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是().

图3

A.140米B.150米C.160米D.240米

【分析】由于小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24°,依次行走,他第一次回到出发地A点,说明小华转过的角度就是360°,即为运动路线构成的多边形的外角和是360°.每次左转24°,即为这个多边形的每个外角的度数,所以这个多边形的边数为360÷24=15,即左转15次可以回到出发点.又因为每次走10米左转一次,所以共走了150米.选B.

【点评】本题考查正多边形的外角计算与实际问题的结合.求小华所走的路程,使外角和的应用焕然一新,解答时需要同学们灵活地把实际问题抽象成数学问题.

(作者单位:江苏省扬州市邗江实验学校)

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