“数与形”教学思考

钟启伟

在一次教学常规抽查中，几位教师随堂抽听了我执教的“一个数除以分数”这一课，整节课我主要借助线段图，引导学生理解并掌握分数除法的算理，紧扣教材与教学目标，分三步设计本节课的教学：

例题：小明小时走了2 km，小红小时走了 km。谁走得快些？

1.教师先引导学生画一条线段图表示1小时走的路程，再让学生思考：如何表示小时走了2千米这个条件？（学生通过画图、观察，很容易就理解“将线段平均分成3份，其中2份表示的就是小时走的路程”，如下图所示。）

小明平均每小时走：

2.指着图启发：已知小时走了2千米，要求1小时走了多少千米，可以先算什么？再算什么？

根据学生的思考交流，教师板书计算思路：

先求小时走了多少千米，也就是2千米的。再求3个小时走了多少千米。

2÷=2××3=2×

结合算式，让学生思考并说说每步求的是什么。

3.观察思考，小结算法：

观察：除法转化成了什么运算？什么没有变化？什么变了？是怎樣变的？

强调：被除数没有变，除法变成了乘法，除数变成了它的倒数。

小结：整数除以分数可以转化为这个数的倒数来计算。

运用方法的迁移，让学生小组内分析小红每小时所走的路程。

……

这只是一节比较普通的数学课，可课后有老师却对我说，他们教很多年的书，只知道分数除法的计算方法是用被除数乘除数的倒数来计算，但一直不知道为什么要这样算，通过这节课的学习，他们终于知道了为什么这样算了。或许是因为他们很少接触小学高年级的数学教程，可从这个简单的事例中，让我们进一步体会到数形结合的重要性。

数形结合是一种重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可以使复杂问题变得更简单，使抽象问题变得更直观。在小学数学教学中，数与形相结合的例子很多。有时候，图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的规律，例如连点成线段，求线段总数，就是利用数的规律来解决线段总数的问题。有的时候是利用图形来直观地解释一些抽象的数学原理与事实，让人一目了然，如上述的事例，就是利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，还有利用长方形模型来理解分数乘法的算理等。然而尽管在以前的学习中，出现很多有关数形结合的例子与练习，学生结合“形”来分析问题也有一定的基础，但由于教材中没有系统的教学数与形的内容，所涉及的练习也比较分散，所以学生对数形结合的概念比较模糊，数形结合的数学思想在解决问题时意义不大。“数与形”是人教版数学六年级上册第107页内容，是教材新增内容，共有2个例题，例2及后面编排的几道练习题都属于思考题甚至竞赛题。从内容的编排上看，它突出了探索规律、运用规律的编排意图，例如例1，通过计算和观察1、1+3、1+3+5、1+3+5+7……既能发现加数的规律（从1开始的连续奇数相加），又能发现和的规律（都是连续的正方形数），例2也如此，在发现规律的基础上，通过推理，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。其次，在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养了学生基本的数学思想。例如例题中，让学生通过计算+、++、+++……发现和越来越趋向于1，感受到什么叫作“无限接近”，同时也使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。在教学时，我认为应该从以下几点进行思考：

1.把数与形有机结合起来，相互印证，体会数学之美。在教学例1时，先让学生通过计算1=1，1+3=4=22，1+3+5=9=32……使学生发现得到的和都是“平方数”，再把图形与算式结合起来，即如果用1个小正方形、3个小正方形、5个小正方形……拼一拼，可以拼出一些大小不一的大正方形，再呈现这些由小正方形拼成的大正方形。让学生观察两个大正方形相差多少个小正方形，例如，边长是2的大正方形和边长是1的大正方形，相差3个小正方形；边长是3的大正方形与边长是2的大正方形，相差5个小正方形……相差的小正方形数正好是“┓”形中的小正方形的数，使学生理解所看到的图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，……数形结合，使学生很清楚地看到这些连续的奇数在图中的什么地方，平方数代表的又是什么，从而对规律形成了更直观的认识，即每个大正方形中都隐藏着一个算式，1+3+5+…+（2n-1）=n的平方。像这样把图形与算式结合起来，更能让学生体会到数学之美。

2.利用数形结合，使学生感受极限的思想。在教学例2时，学生在计算时很容易发现加数的规律，即后一个加数是前一个的；和也有规律，即+=，++=，+++=……每次相加所得到和都等于1减去最后一个数，加数的项数越多，和越接近1。这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1，但这个“无限”接近于1的数到底是多少呢？“无限”的概念非常抽象，学生不容易理解，如果教师只是仅仅用举例的方法求出等比数列的有限和，是很难证明无限多项相加的结果为1。此时教师可以出示一个圆、一条线段或者一个正方形表示单位“1”，让学生根据分数的意义在图上表示出这些加数，让学生直观地看到最终的结果是“1”，这样一来，学生不仅能感受到“化数为形”的直观、形象、简捷的特点，也比较容易理解当一个数无限趋近于1时，其结果就是1，一个极其抽象的极限问题，由于用图形来解决，就变得十分简单了。

3.鼓励学生从不同的角度去寻找规律。小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通式，但可以通过数形结合的方法，利用图形的规律，从不同的角度，用自己的语言描述出数列的通用模式。如，第109页第1题，根据例1的结论，很容易得到第n个图形中最外围的小正方形数为：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以从结果看到第一个图最外圈有8个小正方形，第二个图最外圈有8×2个小正方形，第三个图最外圈有8×3个小正方形……通过推理，可知第n个图最外圈就有8×n个小正方形，每一次都是在前一个图的基础上增加8个小正方形。还可以引导学生进一步思考：每次多的这8个小正方形都是怎么来的？使学生观察到是由于每边增加2个小正方形所产生的。

总之，在小学数学教学中，渗透数形结合的思想和方法，可以将抽象的问题具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使学生学习收到事半功倍的效果。