初中几何教材认知复杂程度的比较研究
——以中国、新加坡教材的三角形问题为例

☉西南大学数学与统计学院 伍芸青

初中几何教材认知复杂程度的比较研究
——以中国、新加坡教材的三角形问题为例

☉西南大学数学与统计学院 伍芸青

一、问题提出

认知复杂程度是指学生为了成功地解决数学问题而被要求达到的思维的种类和水平.NCTM（1991）认为学生学习的机会并不是简单把学生放入小组中，相反，正是学生所投入的思维水平和种类决定了他们将会学到些什么.因此，通过对教材的认知复杂程度的研究，可以在一定程度上了解学生通过教材所得到的学习机会.新加坡与中国文化背景相似，又东西方文化相互交融，那么新加坡教材与中国教材的认知复杂程度有怎样的差异呢？

二、研究框架建构

（一）研究对象.

本研究中，中国初中教材选取人教版义务教育课程标准实验教科书数学（2013年版），下文简称《数学》，新加坡初中数学教材选取由Pearson出版集团出版的Math Insights系列教材（2007年版），下文简称《Insights》.本研究中的习题包括人教社教材三角形有关章节的“例题”“练习”“习题”，新加坡教材三角形有关章节的“例题（Example）”“试一试（Let′s try it now）”“练习（Practice）”.

（二）研究框架.

本研究分析框架主要从认知复杂程度的广度和深度两个维度进行分析，具体指标见表1.

表1

1.认知复杂程度的广度.

对于认知复杂程度的广度方面，参考Son和Senk（2010）关于韩国改革教材与美国改革教材中数学问题的认知期待的比较框架.

2.认知复杂程度的深度.

本研究参考Hsu和Silver（2014）对于台湾课堂中数学问题的认知复杂程度的研究框架，将从图形复杂程度和问题解决复杂程度分析数学问题认知复杂程度的深度.

其中图形复杂程度维度方面，只对几何题目中附带给出的图形进行编码统计.这里主要统计伴随一个书本里介绍的几何性质的一个几何图形（称为参考图形）相对于几何题目中附带给出的图形（这里笔者统一成为“图示”）中点与线的数量变化.

三、结果分析

对中国、新加坡小学数学教科书中，共同存在的三角形内容含例题、习题在内的数学问题进行完全统计，结果详见表2.

表2

（一）三角形数学问题的广度分布情况.

图1显示的是两套教科书中三角形数学问题在认知复杂程度广度上的总体分布情况.统计结果显示，《Insights》所要求的数学认知期望类型更加均衡且丰富，其程序性知识所占比例（51.90%）比《数学》（57.45%）低，但是问题解决性知识所占比例差不多，概念性知识、表述性知识和数学推理要求的数学问题所占百分比更高.结果反映了两个国家教科书中不同水平的认知期望，在三角形例题与习题的广度分布上，新加坡教科书相比于中国教科书提供了更多的机会让学生运用数学思想去解决问题，进行数学推理和应用表述性的知识.另外，新加坡教材提供了更多水平类型的认知期望，更有助于学生学习数学、理解数学.

图1：三角形数学问题广度上的总体分布情况

（二）三角形数学问题的深度分布情况.

本文将就图形复杂程度和问题解决复杂程度两个维度分析数学问题认知复杂程度的深度，并就两个国家教材三角形问题的数据结果比较分析认知复杂程度的深度.

1.图形复杂程度.

由于对于图形复杂程度这一维度的分析要求几何题目中附带给出图形，因此只对《数学》中94个三角形问题中的54个数学问题与《Insights》中57个三角形问题中的43个数学问题进行编码统计.图形复杂程度是由参考图形转化为“题目图形”所需的最少变化量所决定的，表3显示的是两套教材三角形问题中其变化量的数据结果.由结果可以看出，《数学》与《Insights》分别大约有33.33%与27.91%的三角形问题的参考图形的变化量为0，因此《Insights》所占百分比高于《数学》.而这些类型的三角形问题具有相对较低水平的认知复杂程度，因为学生不需要为了辨认伴随相关几何性质的参考图形而去拆分和组拼题目上的几何图形.另外，虽然《Insights》中变化量在1—5范围内的所占百分比（37.21%）比《数学》中该部分所占百分比（40.74%）更低，但变化量在6个以上的所占的百分比（约为34.89%）却比《数学》中该部分所占百分比（25.92%）更高.

表3 三角形问题4种水平的图形复杂程度的频数和百分比

2.问题解决复杂程度.

在这一部分，本文将针对三角形问题解决复杂程度的四个种类的数据结果进行量化比较分析.

（1）辅助线.

《数学》的54个相关三角形问题中大约有5.56%的问题需要学生通过画辅助线来解决，并且最多需要画1条辅助线；而《Insights》的43个相关三角形问题中大约有11.63%的问题需要学生通过画辅助线来解决，并且最多需要画3条辅助线.由此可见，新加坡教材相对于中国教材认知水平要求更高，更具挑战性.

（2）解决步骤.

表4显示的是两套教材三角形问题的最少解决步骤数量的频数与百分比的分布情况.统计结果显示，两套教材所占比例最大的解决步骤数量范围均为2步到4步，而《Insights》中该部分所占比例（84.81%）远远高于《数学》（57.45%）.另外，《数学》中解决步骤数量超过1步的所占的百分比约为65%，远远低于《Insights》中该部分所占百分比（约为92%），《数学》中解决步骤数量超过5步的所占的百分比约为7.45%，略低于《Insights》中该部分所占百分比（约7.59%）.因此从这一层面上仍可以看出，新加坡教材相对于中国教材认知水平要求更高，更具挑战性.

表4 三角形问题4种水平的解决步骤数量的频数和百分比

（3）需要的几何性质.

在分析最少解决步骤数量的同时，我也分析了解决几何问题时所需的最少的几何性质的数量.表5显示的是两套教材三角形问题的最少需要的几何性质数量的频数与百分比的分布情况.统计结果显示，两套教材所占比例最大的需要的几何性质数量范围仍为2步到4步，《Insights》中该部分所占比例（78.72%）高于《数学》中该部分所占比例该部分所占比例（56.96%）.另外，《数学》中解决步骤数量超过2步的所占的百分比约为19.15%，远远低于《Insights》中该部分所占百分比（约为43.04%）.因此进一步印证，新加坡教材相对于中国教材认知水平要求更高，更具挑战性.

表5 三角形问题5种水平的需要的几何性质数量的频数和百分比

（4）图形转化.

针对两套教材中附带有图形的三角形几何题目，本文对于其是否需要图形转化及图形转化的种类（例如平移、旋转或翻折）和数量进行了分析统计.表6显示的是两套教材三角形问题需要的图形转化的频数与百分比的分布情况.统计结果显示，《数学》中图形转化的数量超过1个的所占的百分比约为9.26%，远远低于《Insights》中该部分所占百分比（约为18.60%）.因此同样地，结果证明，新加坡教材相对于中国教材认知水平要求更高，更具挑战性.

表6 三角形问题需要的图形转化的频数与百分比的分布情况

四、结论及建议

（一）结论.

本研究从认知复杂程度的广度与深度两个维度分析比较了中国《数学》系列教材和新加坡《Insights》系列教材中相关的三角形几何问题，通过分析比较，该研究得出以下结论.

1.从广度方面，新加坡教科书的认知复杂程度更高，新加坡教材给学生提供了更好的学习三角形的机会.尽管其要求问题解决性知识的三角形问题所占百分比总体略低于《数学》，但是要求程序性知识的三角形问题所占百分比也相对较低，并且其要求概念性知识、表述性知识和数学推理的问题所占百分比较高.

2.从深度方面，结合几何图形特点分析得出，新加坡教科书相对于中国教材，在三角形问题上具有更高的认知复杂程度.图形复杂程度方面，《Insights》需要较复杂的参考图形到题目附带图形的点线变化所占百分比相对《数学》较高.问题解决复杂程度方面，首先，《Insights》需要画辅助线的三角形题目相对较多；其次，要求两步以上解题步骤或者需要两个以上的几何性质的三角形问题所占百分比也明显高于《数学》；最后，需要旋转或者翻折的图形转化的三角形问题所占百分比也相对较高.由此可见，通过对两国教材的认知复杂程度的进一步分析再次得出，相对于中国教材，新加坡教材呈现了较深的认知水平.

（二）建议.

根据该研究的结论，本研究提出以下建议，以期为中国教材编写者对教材的修订及编写提供一定的帮助.

该研究得出中国教材具有占有较高百分比的三角形问题需要利用程序性知识，因此中国教材编写者可以考虑适当减少程序性知识要求问题的比例，注重概念的练习的同时，应适当变化概念记忆水平题目的形式，适当增加问题解决性知识、表述性知识、数学推理要求的三角形问题，使之认知复杂程度广度方面类型更加丰富且均衡.

鉴于上述关于认知深度的研究，建议中国教材编写者更多考虑加入一些高水平认知复杂程度的问题，例如图形相对较为复杂的，需要步骤、性质较多的问题，一起提高学生对几何知识的灵活运用和善于思考的能力.

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4.Hui-Yu Hsu，Edward A.Silver.Cognitive complexity ofmathematicsinstructionaltasksinaTaiwanese classroom：a examination of task sources［J］.Journal for research in mathematics education，2014，45（4）.