一道模拟调研填空题的多视角求解

江苏省常州市田家炳高级中学 (213000) 徐 颖

一道模拟调研填空题的多视角求解

江苏省常州市田家炳高级中学 (213000) 徐 颖

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.当遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这仅仅只是解出来，并没有真正意义上弄懂它，只有对数学思想方法理解透彻，会举一反三时，才能提出新看法、巧解法.近年数学高考十分重视对于数学思想方法的考查，尤其突出对能力的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题.高中数学思想方法有很多，这里重点说说换元法.

换元法又称为“变量代换法、辅助元素法”.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等价代换，目的是变换对象，将问题转化在新对象的知识背景下去研究， 把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件和结论联系起来，把非标准问题标准化，复杂问题简单化，陌生问题熟悉化[1].本文将以南通等市的2016届高三调研卷上的一道填空题为例，浅谈几种换元法的妙用.

1.试题呈现

2.解法探究

2.1 目标换元法

处理最值时，通常将目标函数看作一个未知变元，通过它与已知条件建立等式或不等式.

注意，当u=4时，8u2+(4-6t)u+t2=t2-24t+144=(t-12)2≥0,故只需要

评注：本解法实际上经过了2次换元，第1次从目标函数入手，通过消元，建立t,x的新关系；第2次换元是降次，关于x的四次方程难以解决，于是考虑换元成……