例析矛盾分析法在多变量数学问题中的运用

西安交通大学苏州附属中学 (215028) 王丽利

例析矛盾分析法在多变量数学问题中的运用

西安交通大学苏州附属中学 (215028) 王丽利

马克思主义哲学原理告诉我们：矛盾存在于一切事物的发展过程中，一切事物都是运动的，在运动过程中存在着各种矛盾，它们的地位和作用又不尽相同，在矛盾系统中居于支配地位、对事物发展过程起决定作用的矛盾，我们称为主要矛盾，其它矛盾则称为次要矛盾.我们在综合把握事物的矛盾系统时，一方面要注意整个事物中诸多矛盾的协同发展，另一方面又要分清主次，着重抓主要矛盾，这样才能理清事物发展的主要线索.

矛盾分析法对数学解题具有重大的指导意义.在一个多变量数学问题中，我们选择一个变量作为主要变量，而将其余变量当作次要变量(或常数)，通过对主要矛盾的研究、分析，确定解题方向，这种方法我们称为主元法.

例1 (日本高考题)设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切m的值成立，求x的范围.

分析:不等式mx2-2x+1-m<0中有两个变量x，m，受思维定势影响，我们习惯上把x作为主要变量，将不等式变形为mx2-2x+1-m<0，撇开不等式难解不说，即使解得x的范围，也必然与m有关，因此你的解题才走到中途点，还要继续考虑恒成立的条件，彻底摆脱变量m；如果由构造函数y=mx2-2x+1-m，但x的范围是解题目标，也就是说你无法预先确定定义域，因而你构造的是一座空中楼阁.

多次受挫，怎么办？以m为主要变量如何？

原不等式变形为m(x2-1)-(2x-1)<0,令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).

因此以m为主要变量构造函数f(m)，情况大为改观了，此时函数f(m)的定义域确定了，有了稳固的大本营，解题可以畅通无阻地推进了.

例2 (课后习题改编)x、y、z∈R,在△ABC中，求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2zxcosB+2yzcosA.

分析:本题中有六个变量x、y、z与A、B、C，可谓复杂.我们选择x为主要变量，则原不等式整理为

x2-2(ycosC+zcosB)x+y2+z2-2yzcosA≥0.

抓住了主要矛盾，也就能驾驭事物的发展过程，因此只要验证上式的判别式△≤0.

△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA)=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA)=4[-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC-2yzcos(B+C)]=4(-y2sin2C-z2sin2B+2yzsinBsinC)

=-4(ysinC-zsinB)2≤0.

评注:正是抓住了主要矛盾，一个……