拉格朗日中值定理的教学设计

赵萨日娜

（吉林省经济管理干部学院，吉林长春 130000）

1 教学背景

学生通过前期教学，对于学习本节课的相关知识基础而言,基本掌握了直线的斜率公式、直线的方程、函数的连续性及闭区间上连续函数图像的特点、导数的几何意义和基本求导公式。学生的逆向思维、创造思维、逻辑思维能力有待进一步开发和锻炼。

2 教学目标

通过本课教学使学生理解拉格朗日中值定理及其几何解释；了解构造辅助函数的思想方法和用罗尔定理证明拉格朗日定理的方法；掌握罗尔定理与拉格朗日定理的关系。从而达到锻炼学生逆向思维、创造思维、逻辑思维的目的。

3 教学方法

主要采用讲授法、数形结合法、启发式教学等。

4 教学内容

4.1 罗尔定理及其几何意义

若函数 f（x）满足：（1）闭区间[a,b]上连续；（2）开区间（a,b）内可导；（3）f（a）=f（b），则在开区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得 f′（ξ）=0。 其几何意义如（图 1）：在端点同高的连续光滑曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的。

图1

图2

4.2 拉格朗日定理的引出

指出定理中条件(3)f（a）=)f（b）较为苛刻,提出若去掉此条件,即，将图1倾斜一定的角度观察，会产生什么结论？从而引出拉格朗日中值定理。

注意,先让学生独立思考两分钟,然后提问学生,引导其从几何图形的变化入手得到新结论：即如图2拉格朗日定理的几何解释——连续光滑曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是平行于弦AB的。

再根据几何解释得到其内在的数量关系：

若函数 f（x）满足：（1）闭区间[a,b]上连续；（2）开区间（a,b）内可导，则……