微积分在解决物理问题中的应用与教学

李建杰

【摘要】微积分是运用运动的思维分析问题、解决问题的一种数学方法，在普通物理学中有着广泛而重要的应用.在讲授数学学理时，如何融会贯通地将数学与物理学有机结合起来，将微积分思想应用于物理问题的解决是一个大胆的尝试.

【关键词】微积分思想；物理问题

随着生产与社会实践的发展，科技创新正在突破学科分立，呈现出多领域高度融合的趋势.社会主义现代化建设呼唤更多创新创业人才的涌现，这就需要教育、教学领域的改革不断深化，特别是高职教育要在提高学生解决现实问题的能力上下功夫.因此，融通各学科知识，提高学生创新能力就成为教学的根本与关键.将微积分的思想、方法与物理学的概念、原理相融合，研究与物理知识相关的实际问题的计算步骤、微元选取和建立模型的方法；选好切入点，运用于教学实践，有利于学生在学而知之时体会学科间知识融通的妙趣，从而调动学生学习的主动性，将创新思维融于数学教学中，推动理论数学贴近生活，向实践型转变.

一、微积分思想与物理学不可分割

在教学实践中，我们深深体会到：微积分思想与物理学是相通的.微积分在物理学中有着广泛而深入的应用.无论是质点力学，刚体的定轴转动，热力学基础，还是静电场、稳恒磁场都需要用微积分来分析与阐释.

微积分初始的创立源于17世纪人类对自然科学探索之需要，天文学及力学等物理研究推动了数学的发展.天文学及力学的探索包括四类主要问题——已知物体运动路程与时间的关系求物体在任意时刻的速度和加速度，以及反之，已知加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程；求曲线的切线；求函数的最大最小值问题；求积问题（计算曲线的弧长、曲线所围区域的面积、体积及物体的重心等）.

微积分是高等数学的奠基石，它充满了思辨的理念.包含着有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一.微积分思想和方法的精妙之处在于用运动的思维来看待和研究问题，通过有限向无限转化，从而实现近似到精确的分析过程.用微分来建立方程、建立模型，用积分来求解方程模型，这是微积分应用的关键.

物理学是以实验和观察为基础，并用微积分来描述物体间各个量的因果关系的学科.虽然物理学与数学研究领域各异，但解决问题的基本出发点与方法论是相通的，就是把复杂问题近似成简单、基本、可研究的对象，从而使其可解.在这一过程中所运用的基本方法就是：将物理学所研究的对象在时间或空间上分割成小量，对小量进行近似求解，这些近似处理在无限次分割的情况下趋近于物理问题的真实结果.这就是微分的思想；由无限分割所得到的小量称为微分元，简称微元.而把这些无限小的微元进行连续性求和，就是积分思想.把物理对象分割成微元后，不均匀量变成均匀量，变量可看作常量，将复杂问题简单化.这一化整为零，再积零为整的研究方法，正是微积分思想方法的跨领域运用.

二、微积分思想与物理问题解决的融合

物理与微积分看似相互独立，但实际上不可分割.物理是数学的延伸与应用，数学思维又渗透于物理的多个分支.大学物理中无论是质点力学，刚体的定轴转动，热力学基础，还是静电场，稳恒磁场都要用微积分来解决问题.

微元法思想——与中学物理相比，大学物理的基本特征在于所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了连续量和变量，要想在已有的基础上，进行深入的学习与研究，微元法思想尤为重要.例如在力学中的速度、加速度、变力做功的求解中用到了位移元、时间元和速度元、功元；刚体质心的求解中用到了质量微元；在电磁学部分电场强度和电势的求解用到了电荷元；在磁场强度的求解中用到了电流元等.有了微元之后我们就可以利用已掌握的知识求解这些微元的物理问题，进而利用求和的方法解决实际连续体的物理问题.

积分思想——中学阶段的大部分定理和定律都是针对离散变量或是理想模型，对于连续量和变量的物理问题我们除了应用微元法外，还要利用积分思想，即对求得的离散的微元问题进行求和.从物理上说就是标量的代数和、矢量的迭加原理.例如：电磁学中高斯定理中高斯面内电荷的代数和、磁场安培环路定理中环路内电流的代数和等标量的迭加，还有电场强度、磁场应强度等矢量的迭加原理等.可以说积分是大学物理中应用最广泛的方法之一.

实践表明，微积分思想与物理问题解决的融合，实现了数学与物理课程的链接，有益于破除数学与物理学科的“隔膜”，从而提高学生应用数学方法解决物理问题的能力.

三、微积分思想在物理问题解决中的应用

如何将微积分的思维与物理学的学理有机结合起来，用微积分的方法分析与物理知识相关的实际应用问题，建立合理的数学模型，确立解决问题的一般方法，是教学的重点和难点.在教学中适时切入典型案例，展示微积分思想在物理学科中的运用，使学生加深理解微积分思想，感悟微积分思想的美妙与神奇，熟练运用微积分的方法分析物理问题，探求用微积分方法解决工程实际问题的一般规律，为后期教学做好准备.

针对高职学生学习特点与认知规律，仅选择与力学、运动学、电磁学为背景的实例.主要方法如下：

首先，界定哪类物理问题需要微积分的方法来分析——这些问题突出特点在于所研究的物理量由原来的稳恒量和离散量变成了连续量和变量，要想利用已有的知识进行分析，需要利用微元法思想化繁为简.

其次，掌握微积分核心，即微元的选取，是解决问题的关键——确定微元后先利用数学表达式描述这些微元近似的物理状态，进而利用求和的方法解决实际连续体的物理问题.

最后，熟练运用微积分的一般解法步骤是解题的关键——包括用近似值代替实际量；各微元值求和，利用各种积分方法求得原函数，代入上下限.即完成了在物理背景下，运用微积分作为数学工具得到最终结果的完整过程.

基本步骤：

1.根据物理问题，确定相应的微元——能近似处理成简单的物理模型，便于分析与解决物理问题；

2.建立合理的坐标系——物理问题与定量数学计算的联结纽带，把抽象的数学形式中所包含的物理内涵体现出来；

3.结合物理规律和公式，将物理模型转换为数学模型——将其转化成数学符号来进行表达；

4.应用微积分的性质进行计算，解决问题.

教学案例：

构建的案例有：动力学——如悬崖高度的估算、拱桥承受压力问题、第二宇宙速度的计算、飞机减速伞的作用、降落伞下降速度、人在月球上能跳多高、交通管理中黄灯状态持续的时间模型、火车转弯时的轨迹线、列车的制动点、计算匀质薄板的重心；电磁学——并联电路中电子元件问题、关于调节电路的总电阻问题、闭合回路中元件两端电压（电流）的变化规律模型、自感L与电阻R的闭合电路中，电流强度的变化规律；物体的振动方程——钟摆的往复振动、弹簧的振动；物体冷却模型——刑事侦查案件中死亡时间鉴定等.

四、微积分思想解决物理问题的教学思考

将微积分学理应用于解决物理问题的教学是一个尝试.本文探析用微积分方法解决物理问题的一般规律、微元选取和建立模型的方法.适时将选取的案例运用于教学，通过微积分思想和方法的有机运用，使學生在潜移默化中体会跨学科知识融通的奥秘，使单纯的数理灌输成为可以动手动脑的实际问题的解决过程，从而使艰涩的教学生动活泼起来，架起教学研究与实践应用的桥梁.

【参考文献】

[1]贾俐佧.论普通物理与高等数学的相依关系[J].教育理论与实践，2012（12）.

[2]欧聪杰.将微积分的思想融入大学物理的教学[J].教育教学论坛，2014（2）.

[3]梁小佳.微积分在大学物理中的应用探究[J].甘肃高师学报，2010（12）.

[4]许冬保.探究物理课程中微积分思想方法的隐性渗透与显化教学[J].课程教学研究，2015（1）.

[5]赵建彬.物理学[M].北京：机械工业出版社，2006.