例谈三角函数模型的应用

闫丽丽

【摘要】本文以利用三角函数模型解决日常实际问题为主线，以函数与方程思想和数形结合思想为精髓，结合现代信息技术手段将函数知识整合提升，并灵活应用在实际问题中，有助于增强学生对数学知识的应用意识，提高学生的数学素养.

高中数学课程标准提出的基本理念，倡导积极主动、勇于探索的学习方式；提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的整合等.新教材配置了大量的应用问题，涉及生活实际的方方面面.但是学生对某些内容的实际背景很陌生，再加上原有认知水平的局限和数据处理的复杂性，很难从实际问题中抽象、概括出数学模型并解决问题.这样，应用问题自然成为学生学习中的一大难题，又由于高考中此类应用问题考查较少，也成为课堂教学中很容易被忽略的部分.随着时代的发展，信息技术已经渗透到数学教学中，使用计算器或计算机和网络，可以帮助学生收集有关信息、处理复杂数据、描绘准确图像、模拟数学实验和探索数学结论，进而解决实际问题，完整地体会数学建模的数学思想和方法.

“数学探究”、“数学建模”等学习活动，可以激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯.学生在运用函数模型解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，提高学生的数学思维能力，是数学教育的基本目标之一.

三角函数模型是高中阶段的重要函数模型，周期性是其最顯著的特征，“周而复始”现象在自然界和日常生活中普遍存在.所以，三角函数模型的研究价值和应用价值显而易见.本文围绕高中新课程必修4第一章§1.6三角函数模型的简单应用的例4的解决，探讨函数模型及应用的更有效的教学过程，研究解决数学建模问题的一般方法.

例 货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.1）.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能待多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

活动一：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生做出散点图.

解 （1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图.

教法与学法思考

本例紧紧围绕潮汐涨落的规律性变化问题，循序渐进地介绍三角函数模型的应用，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系.在教学中，教师通过引导学生解决有一定综合性和思考价值的问题，培养学生综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力，进而培养学生的分析问题、数形结合、抽象概括、数学建模等能力，体会如何从复杂的实际问题抽象概括出理想化的数学模型，在解决数学问题后，添加现实条件还原为可实际操作的实际问题.由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等.在教师的指导下，学生先自己动手探索，再进行师生、生生交流的学习方式，让学生思考问题，探索方法，总结规律，从而培养学生动手、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体.