浅谈初中数学几何证明的三种思维

沈忠华

摘 要：几何证明题是初中数学非常重要的一项内容，学好几何证明题对提高数学成绩有重要作用。做好几何证明题，需要掌握多种解题的思维方法，只有灵活运用这些思维方式才能快速正确解题。主要对正向思维、逆向思维、正逆结合三种思维方式在几何证明题中的应用进行探讨。

关键词：初中数学；几何证明；思维方式

几何证明题在初中数学学习中占有重要位置，是初中数学学习的一项重要内容，几何题的证明一直是困扰学生的一个难题。要学好几何证明题，需要开阔学生的思维方式，灵活运用多种思维方式和解题方法，就能学好几何证明题。笔者结合教学初中实践对几何证明题的三种常用思维方式进行探讨。

一、运用正向思维进行证明

运用正向思维方式进行几何题的证明是最常用的一种方法，特别是对于一般的题目，运用正向思维就能容易解决，只有根据题目给出的已知条件，向要得到的结果方向逐步证明推理就能把题目证明好。

例1.证明：等腰△ABC两底的角平分线BD=CE。

解题分析：本题用正向思维方式进行证明，只要已知条件，寻找三个条件来证明△BDC与△CEB全等，就能证明两条角平分线相等。

证明过程：根据图1和题目已知条件可得出AC=AB

根据等边对等角可知：∠ACB=∠ABC，∵CE与BD是角平分线，根据其定义可得出：∠BEC=∠ECA+∠A，∠CDB=∠DBA+∠A，根据角平分线的性质可得∠ECB=∠DBC∴可得出∠BEC=∠CDB，在△BCD和△CBE中，根据三个条件：BC=BC，∠BEC=∠CDB，∠ECB=∠DBC，根据角边角定理可得出：△BEC≌△CDB，∴可得出CE=BD，此题得证。

二、运用逆向思维进行证明

证明几何题还可用逆向思维方式进行证明，通过运用多种方式和方法进行几何题的证明，能培养学生的思维发散能力和创新能力。

例2.学习勾股定理时曾有这样一道几何证明题，现用逆向思维方式证明。证明：+=（a、b为两条直角边，h为斜边c上的高）

解题分析：在本题的证明中，运用逆向思维方式，从结论开始着手进行推理证明，能减少一些没有必要的运算过程，使证明过程更方便简单易行。

证明过程：将要证明的等式左边分工进行合并：+==因为在直角三角形ABC中，有a2+b2=c2∴上式可变为=，两边交叉相乘得：a2·b2=c2·h2，式子变形（ab）2=（ch）2，∵a，b，c，h均为正数，∴可得ab=ch，根据三角形面积公式可知此式成立，从而可证明结果成立：+=

三、运用综合方式进行证明

在证明几何题目时，有时会遇到一些题目，从已知条件运用正向思维进行证明和从结论运用逆向思维进行证明都不容易找到问题的突破口。遇到这种情况就要对已知条件进行分析，用正向思维进行证明，也可以认真分析证明结论，运用逆向思维进行证明，也可以同时运用两种思维方式进行思考，从而找到解决问题的突破口。如，题目给出三角形某个边的中点，如果做辅助线，就要考虑中线或中点倍长线。如果是在梯形中给出中点，就要考虑其高线、补形结合、对角平移等方法和条件的利用。从正反两个方面综合考虑，往往会使题目容易证明。

例3.（如图2）已知梯形ABCD，其中AE⊥DC，AB∥CD，边AC的长度是20，边BD长是15，边AE的长是12，求梯形ABCD的面积？

解题过程：过A点作一条辅助线AM，使AM∥BD，AM线交于CD延长线上的M点，因此，就可得到平行四边形ABDM，根据这个平行四边形可知：AM=BD，S△AMD =S△ABD，由此可知S△ABD=S△ABC，∴梯形ABCD面积就等于△AMC的面积。在△AME中可求得，ME==9，在△AEC中，EC==16，因为梯形ABCD面积等于△AMC的面积：可得S△AMC=（9+16）×12=150

四、运用几何证明题培养学生能力

随着素质教育和新课标的实施，要求教师在初中数学教学中注重发展学生的思维能力。通过运用多种思维方式，从不同角度对几何题目进行证明，能扩展学生的思路。学生通过对几何题目进行观察、分析、归纳等步骤，来感受几何证明带来的挑战和几何题目证明过程的严谨性、条理性、确定性，对培养学生的思维创新能力非常有益。本文中三種思维方式在几何证明中使用较多，也是最有效的方法，教师在教学中应指导学生注重对这几种思维方式的运用，以提高学生的数学学习成绩。

参考文献：

[1]赵美娟.浅谈初中数学几何证明的三种思维[J].吉林教育，2016（1）.

[2]费建萍.浅谈初中数学几何证明题教学[J].数学学习与研究，2015（16）.

编辑 孙玲娟