三视图易错点分析与反思

耿丽丽

空间几何体的三视图是人教版高中数学必修二的内容，也是新课改后增添的新内容.它是在初中学习过三视图的基础上，进一步培养学生作图、识图及运用图形解决几何问题的能力，需要学生有较强的空间想象能力及运算能力.对于这部分内容，学生实质上在初中已经接触过一些简单几何体的三视图，并会画一些常见简单几何体的三视图，尤其是圆柱、圆锥、长方体、正方体的三视图.但是初中对几何体更多的是直观感知，而高中要求学生能从定性和定量上对简单几何体进行研究.实际上，学生在做具体题目时却常常出错，这里对学生在三视图中常犯的错误进行分析与反思.

1根据几何体识别三视图

例1如图1，多面体ABCD-EFG的底面ABCD为正方形，FC=GD=2EA，其俯视图如图2，则其正视图和侧视图正确的是（）.

解析本题重点考查学生是否领会三视图的定义及内涵，在教学中应培养学生从空间几何体的整体入手，直观认识和理解三视图的本质.这个题学生容易犯的错误是选B，对三视图中实、虚线的画法掌握不牢.在作三视图时，看得见的部分的轮廓画成实线，看不见部分的轮廓画成虚线.注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，E的投影点落在GD的中点上，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，所以BG，BF的投影为虚线，故选D.

例2已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如下图所示，其中，则该三棱锥的左视图的面积为（）

A. 9B. 6C.33 D39.

解析本题重点考查正三棱锥的三视图及其面积运算，考查学生运用三视图的基本知识及空间想象、罗辑思维能力.对于正三棱锥V—ABC的三视图，学生比较常见，但不同的放置方法，却影响其三视图的形状.所以，要引导学生从主视图、俯视图入手，想象其左视图应为等腰三角形（如上）.由于俯视图是边长为23的等边三角形，所以根据三视图作图的原则：“长对正，高平齐，宽相等”，可以得到左视图的三角形的底边也为23，欲求左视图的面积，关键在于求左视图对应三角形的高.而这却是学生容易出错的地方，因为学生很容易将正三棱锥V—ABC的侧棱长或侧高误以为是左视图对应三角形的高，实际上正三棱锥V—ABC的体高h才是所要求的侧视图的高.利用勾股定理可得，底面正三角形的高为3，正三棱锥的体高 ，所以左视图的面积 .故选B.

2利用三视图还原几何体

在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要结合三个视图综合考虑，所以让学生熟练掌握简单几何体三视图与直观图的相互转化是教学的关键.

例3某几何体的三视图如下图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）.

解析本题以三视图还原几何体为载体，结合面积的计算进行命题，主要考查学生由三视图还原几何体的能力.通过观察三视图，此几何体并非常规四棱锥，顶点在底面的投影落在底面正方形的外部.由于此类型题目学生见的较少，所以学生很容易出现错误.实际上，几何体是底面边长为1的正方形，高为1的四棱锥，直观图如图3，其中平面ADE⊥平面BCDE，四个侧面面积分别为 ， 最大面积是 ，故选B.

例4一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该几何体的表面积为 .

解析在这道题中，学生很容易就判断出该几何体是一个正四棱锥.由此，学生马上算出几何体的表面积为

在这里，学生虽然判断出了几何体的形状，但却误把投影当成了侧面，由此可见，学生对于三视图的理解并不透彻.根据“长对正，高平齐，宽相等”这个原则可以发现， 中的4是几何体的体高，而主视图的边长5才是侧高即斜高.所以该几何体的表面积应为

从以上题目可以看出，学生对于空间几何体的三视图掌握的并不清楚，所以在教学中应教给学生注意以下几个方面的问题：1.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形；2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别，重点把握空间几何体的结构特征，如几何体的形状，平行垂直等，这些正是数据运算的关键.

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”大文豪苏东坡的这首诗也让我们体会到了三视图的数学魅力.2017年普通高考考试大纲对数学内容进行了修订，增加了对数学文化的考查要求.在我国古代名著《九章算术》中，就记载了三视图的题型，所以将数学文化与三视图结合的创新题可能会成为高考试题的“新寵儿”！基于此，在日常教学中，教师应增强学生对空间几何体三视图的认识与理解，提高学生的空间想象力和数学建模能力，并逐步渗透数学文化，关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质传授给学生.