高中立体几何解法解析

蔡剑锋

【摘要】 在高中数学的学习阶段，立体几何是一个难点也是重点，而如何解决立体几何问题，这就需要教师通过一定的教学手段，让学生们正确认识以及通过正确的思维方法处理、解决立体几何图形问题，这样也会对学生所掌握基础知识以及应用水平有很大影响.因此，本文中基于本人自身多年的教学经验，总结分析了几点关于立体几何问题解题的技巧.

【关键词】 立体几何；解法；高中教学

立体几何问题是高考中的一个重点，同时也是一个难点，因此，高中学生必须重点掌握.但是由于立体几何明显的多变性特征，再加上绝大部分高一学生逻辑思维能力不够完善，缺少一定的解题技巧，因此，在立体几何解题方面有较大的困难.所以，在数学课堂教學的过程之中，教师需要培养学生运用空间想象力以及逻辑思维能力进行解题，从而达到提高学生解题能力的目标.

一、将立体几何与生活相结合

教师们可以将生活中的立体几何与数学中的立体几何相结合.比如说，在上立体几何的新课之前，可以先引导学生观察一些常见的物体，并让学生自行描述、概况和总结这些物体的几何特征，这样可以让学生感觉立体几何存在于我们的日常生活中，学习的热情不自觉地也就有所提升，同时还减少了学生对立体几何的恐惧感.

二、教会学生运用画图方法

教会学生画图，从而更好地解题，也是立体几何一种学习策略.例如，“直线与平面垂直的判定”这一部分的知识，学生必须弄清定义“若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直”.根据其定理再进行有关延伸，学生能够转化为数学语言：m为直线，n为平面β中的任意一条直线，若m⊥n，那么m⊥β，说明学生对该基础知识有所掌握，教师再根据定义，对判定依据“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面”进行讲解和举例，最后，根据各条判定条件进行有关的举例和练习.除了以上的将一般问题特殊化、表面距离平面化之外，面临立体几何中的最值问题求解时，我们可以先根据题目条件构造出一个由所求变量所组成的目标函数，函数构造完以后，通过函数最值的求法算出我们需要的结果.在求解的过程中我们可以运用配方法、判别式法、三角法等等.

例1 （2014年高考广东卷文科第18题）四边形ABCD为一个矩形（图1），PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，做如图2折叠：折痕EF，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.

（1）证明：CF⊥平面MDF.

（2）求三棱锥M-CDE的体积.

分析 （1）根据已知条件“PD⊥平面ABCD”，采用面面垂直的定理可得MD⊥CF，然后结合MF⊥CF，通过线线垂直得知CF⊥平面MDF；

（2）根据已知条件和构造辅助图形，可以得知MD= 6 2 ，S△CDE= 3 8 ，因此，VM-CDE= 1 3 S△CDE·MD= 2 16 .

三、空间想象力

几何上的三视图，首先，是要习惯从立体的角度看待问题，把立体问题平面化，然后，再运用平面几何知识解题.关键是要掌握立体几何定理，比如，空间直线、直线和平面的关系、平面和平面的关系、简单的几何体.在解答一些立体几何问题过程中，例如，求立体几何中的范围、最值等问题时，如果能够灵活地运动空间想象力来转变图形，也可以通过一些物体内在的变化分析问题、解决问题，便能够正确、迅速地解答出立体几何题.

例2 如图3所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是一个直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC1= 2 ，AC=6，BC1上有一个随意移动的点P，问CP+PA1的最小值.

分析 这道题考查一个运动变化中解答最小值距离的知识点，可以采用变化图形的方法进行解答，将立体几何问题转变为平面几何知识来进行解答.

将A1与B连接起来，顺着BC1把△CBC1展开，△A1B1C1在一个平面内，如图4所示，再将A1与C连接起来，因此，A1C2的长度便是CP+PA1的最小值，根据计算得知，∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，因此∠A1C1C2=135°.按照余弦定理能够算出A1C2=5 2 ，便是CA+PA的最小值便是5 2 .

四、总 结

教师要注重培养学生的灵活的空间想象力和动手画图能力.立体几何中所涉及的图形较多，所考查的内容也较多，教师要根据教学大纲要求，根据学生的掌握程度来进行适当分解，只有这样，立体几何才能更容易被理解和消化.