函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略

秦传明，杨子林

摘 要：高三数学复习的核心任务是让学生构建知识、方法体系，其中，解决函数中不等式恒成立、能成立问题是关键的一环。作为数学教师，应灵活转化，构造合理的函数，利用函数思想帮助学生解决函数中不等式恒成立、能成立问题。

关键词：函数；解题；策略

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）05-0221-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.139

高三复习中，函数中不等式恒成立、能成立问题是难点。在实践中，我们发现函数、方程、不等式三者密不可分，若将方程、不等式的两边都看成函数，使方程问题、不等式问题转化为函数问题，便能用函数思想解决含参数的不等式恒成立、能成立问题。比如，通过灵活转化，构造合理的函数（由于等价转化的方式不同，构造出的函数也不同，因此导致解题难度和解题长度也就不同）；避免分類讨论，使用分离参数法（由于参数与变量是相对而言，因此该法也可称为分离变量法）等。

下面就函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略作以阐述，与大家共勉。

例1. ，求f（x）≥g（x）在恒成立时a的取值范围。

分析：对于任意，有f（x）>g（x）恒成立，

y=f（x）的图像在y=g（x）图像的上方，

F（X）=f（x）-g（x）>0在x∈[a，b]恒成立。

解：xinx-ax≥-x2-2在恒成立，即在恒成立，设，则令h'（x）>0，得 x>1或x<-2，所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1， 上单调递增，h（x）min=h（1）=3，所以a≤3。

例2.已知f（x）=xex，g（x）=-（x-2）2+a，若对于Vx1，x2∈R，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围.

分析：对于，都有f（x1）≥g（x2）恒成立y=f（x）的图像上任意点都比y=g（x）图像的任意点高 f（x）min≥g（x）max。

解：，则f（x）在上单调递减，在 上单调递增，

则，， 所以。

例3.已知，对于，都有恒成立。求实数m的取值范围。

分析：若任意的，恒成立

y=f（x）的图像上任意两点的纵坐标的差的绝对值小于等于m

。

解：f'（x）=x2-4x+3，令f'（x）>0，得x<1或x>3，

所以f（x）在上单调递增，在[1，3]上单调递减，在[3，]上单调递增。

，所以，则 。

例4：已知，若，，有。求实数m的范围。

分析：，对于，恒成立。只需中存在一个值比，中的值小即可，我们可做一形象的比喻：将看作甲班同学的成绩，看做乙班同学的成绩。题目可转化为：甲班所有人的成绩>乙班其中一个人的成绩，则只需甲班的最低分（最低分都大于，则以上所有全成立）大于乙班的最低分（只需有比甲班最低分小的即可）。

解：，，，

。

于是，，

。

例5.已知，。若， ，有。求实数m的范围。

分析：甲班所有人成绩>乙班所有人的成绩，只需甲min >乙max 。

解：，，

0>1-m，m>1。

例6.已知，若， 有。求实数m的范围。

分析：甲班有一个人的成绩>乙班所有人的成绩，只需甲max>乙max，

，，

9>1-m，m>-8。

例7.已知，。若， ，有。求实数m的范围。

分析：甲班有一个人的成绩>乙班有一个人的成绩，只需甲max>乙min，

解：，，

， 。

通过一题多解，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，增强思维的灵活性、变通性、创造性，从多种解法的对比中优选最佳解法。

参考文献：

[1] 罗布.“恒成立问题的解法例说”[J].数学教学通讯，2011（15）：46.

[2] 王成营，陈佑清.试论符号意义获得能力及其培养——以数学教学为例[J].全球教育展望，2012（7）：34.

[3] 王成营，孙祖万.数学符号在解题中的“启思”功能[J].考试周刊，2012（3）：102.

[责任编辑 冯红伟]