螺旋非圆锥齿轮齿面节线数学模型的构建

许爱芬,贾巨民，陈雨青

(1.军事交通学院 军事物流系，天津 300161； 2.41军工兵力，湖南 衡阳 421000)



● 基础科学与技术 Basic Science & Technology

螺旋非圆锥齿轮齿面节线数学模型的构建

许爱芬1,贾巨民1，陈雨青2

(1.军事交通学院 军事物流系，天津 300161； 2.41军工兵力，湖南 衡阳 421000)

以研究螺旋非圆锥齿轮齿面节线的构建原理为目的，基于映射法构建螺旋非圆锥齿轮齿面节线的数学模型，依据密切面的思想及算法，完成螺旋非圆锥齿轮实体模型的构建。运动学仿真结果验证了该算法及模型的正确性。

变传动比；非圆锥齿轮；齿面节线

汽车差速器的作用是保证汽车驱动桥两侧车轮在行程不等时能以相应的不同转速旋转，从而满足汽车行驶运动学的要求。为提高车辆通过冰雪、泥泞及松软地面的能力，限滑差速器应运而生，其结构形式可以分为人工控制式、被动控制式和主动控制式。变传动比限滑差速器作为被动控制式的一种，近年来成为业界研究的热点。其核心机构是一对非圆锥齿轮副，能够实现相交轴之间的变速比传动，既可以实现普通圆锥齿轮差速器的差速功能，也可以锁紧防滑。

贾巨民等[1]、赵玉民等[2-3]、马延会[4]主要对非圆锥齿轮的设计原理进行了研究。文献[1]应用微分几何的曲面论定理，将非圆锥齿轮副传动的球面节曲线保测地曲率地映射到平面上，引入当量齿轮和当量节曲线的概念，将复杂的空间啮合问题简化成平面问题，给出齿形的设计计算方法。平面设计完成后，再采用相反程序，将平面齿形曲线保测地曲率地映射到球面上，生成空间的三维齿廓。文献[2-4]在文献[1]的分析方法基础上，给出了非圆锥齿轮节曲线展开的详细算法，并以此为基础，通过确定插齿刀的节圆沿平面当量节曲线做纯滚动时插齿刀上各点的运动轨迹，模拟插齿刀加工包络出当量齿轮的齿形过程，并实现非圆锥齿轮的计算机辅助设计。

贾庆祥等[5]和裴玉哲[6]主要对非圆锥齿轮的加工方法进行了研究。根据短程曲线的测地曲率原理和圆锥齿轮球面渐开线形成原理，提出了一种非圆锥齿轮的球面渐开线齿廓设计方法，并在CIATA中进行三维建模及运动分析。其目的是为了产形线切齿法在非圆锥齿轮的球面渐开线齿加工方面的推广和应用。

文献[7-8]主要对非圆锥齿轮副进行了试验研究。分析了一种三周节变传动比限滑差速器的工作原理，并将其与装有普通差速器的车辆进行性能对比试验。试验结果表明该差速器具有增大牵引力和缩短制动距离的作用。

郑方炎等[9]和侯东海等[10]主要对斜齿非圆(锥)齿轮进行了研究。文献[9]将斜齿锥齿轮的理论知识应用到非圆齿轮领域，得到了斜齿非圆锥齿轮的传动形式，基于包络原理的齿面生成方法，推导了其数学模型，并建立了非圆锥齿轮的模型。文献[10]介绍了非圆齿轮齿廓的形成原理。基于工具斜齿条法加工斜齿非圆齿轮动轴线变传动比复杂的运动几何关系，建立了其理论分析的数学模型，分析了斜齿非圆齿轮齿廓的端面截形、节圆柱面截形以及瞬时接触线。

上述各研究成果对本文的研究提供了极有价值的理论借鉴，但是其研究对象主要是直齿非圆锥齿轮。螺旋锥齿轮与直齿锥齿轮相比，具有重叠系数大、负载能力强、可以实现大传动比等优点。因此，对螺旋非圆锥齿轮进行研究具有极重要的理论意义和极高的工程实用价值。

1 螺旋非圆锥齿轮齿面节线数学模型的构建

1.1 齿面节线的形成原理

本文利用螺旋圆锥齿轮的齿面节线(螺旋线)向非圆锥齿轮节面进行映射的方法求得非圆锥齿轮的齿面节线，即令螺旋圆锥齿轮与非圆锥齿轮的节面进行纯滚动运动，求出螺旋圆锥齿轮的齿面节线与非圆锥齿轮节面的交点，连接成线，即可获得非圆锥齿轮的齿面节线。

螺旋圆锥齿轮的齿面节线方程为

式中：Tb为螺旋线的螺距；γ为转动角度；μ为圆锥锥角的一半；L为母线长。

以非圆锥齿轮的锥顶为原点建立固定坐标系O0-x0y0z0，以螺旋锥齿轮大端的圆心为原点建立固定坐标系O1-x1y1z1，当螺旋锥齿轮绕旋转轴转过角度θ后，其随动坐标系为O2-x2y2z2，如图1所示。

图1 螺旋锥齿轮与非圆锥齿轮节面位置关系

1.2 螺旋非圆锥齿轮齿面节线的生成

首先将坐标系O2-x2y2z2中的点转换到坐标系O1-x1y1z1中，根据坐标变换关系[11]，两坐标系相差的角度为θ，因此坐标变换关系为

θ可以根据螺旋锥齿轮节面和非圆锥齿轮节面之间的纯滚动关系求出[12]，母线为一定值时，节曲线的长度为

式中：

根据上述计算，便可以将坐标系O2-x2y2z2中的点转换到坐标系O1-x1y1z1中。当球面半径a为一定值时，利用坐标变换便可以得到坐标系O1-x1y1z1与O0-x0y0z0的变换关系。对于任意的球面半径a，节曲线上周向的单位切向量t1为

同理，径向的单位切向量t2为

根据向量叉乘的定义，可以得到与向量t1和t2分别垂直的向量n为

n=t1×t2

由于n的方向并不与圆锥底面平行，而是相差一定的角度，因此将n偏转一定角度，获得新向量m，使其经过圆锥底面圆心：

m=t2sinμ+ncosμ

式中μ为螺旋锥齿轮锥角的一半。

向量m的3个方向的分量分别是m1、m2、m3。节曲线的法线等距线是根据曲线上任意一点坐标及该点沿m向量方向的位移构建的，可以表示为

(xm,ym,zm)即为坐标系O1-x1y1z1原点坐标，还需要求出这个坐标系的方向参数，再使用向量间的坐标变换。坐标系O1-x1y1z1的坐标轴用向量可以表示为

坐标系O0-x0y0z0的坐标轴向量为

根据坐标变换原理，可以得到坐标系O1-x1y1z1和坐标系O0-x0y0z0的坐标变换关系：

式中：p1、p2、p3为向量p的3个分量；q1、q2、q3为向量q的3个分量。

综上所述，将圆锥面上螺旋线坐标转换到非圆锥齿轮坐标系为

r=M10M21r0

(1)

将各个参数代入式(1)，即可将圆锥面上的螺旋线映射到非圆锥齿轮节面上，从而获得非圆锥齿轮齿面节线的数学模型。

本课题研究的螺旋非圆锥齿轮共有9个齿，每个齿与节锥可以相交出两条齿面节线，共18条齿面节线。将上述齿面节线的数学模型通过Matlab编程、SolidWorks环境绘制得到的齿面节线如图2所示。

2 螺旋非圆锥齿轮模型生成

基于密切面思想，将螺旋非圆锥齿轮的齿面节线分割为若干份，每个分割点将对应一条球面节曲线，以该球面节曲线为基础，以分割点为起点，根据文献[1]的方法分别计算出齿形曲线，并将齿形曲线沿齿面节线方向进行放样连接，即可获得螺旋非圆锥齿轮的齿形(如图3所示)。图4为螺旋非圆锥齿轮副的啮合图。

图2 齿面节线示意

(a)单周期内的齿形 (b)全周期内的齿形 图3 螺旋非圆锥齿轮的齿形

图4 螺旋非圆锥齿轮副的啮合

将图4中的齿轮副基于ADMAS环境进行运动仿真，结果表明，其运转状况良好，不会出现卡死、漏齿等情况，其实际啮合曲线与理论曲线基本相符，在此不再赘述。

3 结 论

(1)本文所提出的“映射法”生成非圆锥齿轮齿面节线的方法是切实可行的；

(2)基于密切思想构建的螺旋非圆锥齿轮的模型是正确的。

上述研究成果为变传动比限滑差速器非圆锥齿轮设计及其啮合理论的完善及创新提供了理论和技术支撑。

[1] 贾巨民,高波,赵德龙.基于保测地曲率映射的非圆锥齿轮传动设计分析方法[J].机械工程学报,2008,44(4):53-57.

[2] 赵玉民,倪俊义,马延会.非圆锥齿轮的三维计算机辅助设计[J].机械传动,2010,34(9): 47-50.

[3] 赵玉民,马延会,华林，等.非圆锥齿轮节曲线的平面展开算法研究[J].中国机械工程,2008,19(17):2046-2049.

[4] 马延会.变传动比限滑差速器的齿轮设计[D].武汉:武汉理工大学,2007.

[5] 贾庆祥,裴玉哲,高士龙，等.球面渐开线齿形非圆锥齿轮的设计与分析[J].机械传动, 2014,38(3): 80-82.

[6] 裴玉哲.球面渐开线非圆锥齿轮产形线切齿法的研究[D].长春:吉林大学,2014.

[7] 姜虹,王小椿.三周节变传动比限滑差速器设计与试验[J].农业机械学报,2007,38(4):31-34.

[8] 姜虹,王小椿.三周节变传动比限滑差速器性能分析及试验研究[J].工程机械,2006,37(12):19-22.

[9] 郑方焱,李波,吴俊峰，等.斜齿非圆锥齿轮的数学模型与实例分析[J].机械设计, 2014,31(11):41-45.

[10] 郑方焱,刘忠明.用工具斜齿条法加工斜齿非圆齿轮的啮合理论模型[J].机械工程学报, 2003,39(8):49-54.

[11] 吴序堂. 齿轮啮合原理[M].3版．北京：机械工业出版社,2009：127-131.

[12] 吴序堂,王贵海.非圆锥齿轮及非匀速比传动[M].北京：机械工业出版社,1997：45-49.

(编辑：史海英)

Mathematical Model of Tooth Section Line of Spiral Noncircular Bevel Gear

XU Aifen1, JIA Jumin1, CHEN Yuqing2

(1.Military Logistics Department, Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 2.41 Army Corps of Engineers, Hengyang 421000, China)

s： To study the building principle of tooth section line of spiral noncircular bevel gear, the paper firstly establishes a mathematical model of tooth section line of spiral noncircular bevel gear with mapping method, and then establishes a spiral noncircular bevel gear solid model according to the theory and algorithm of osculating planes. The Kinematics simulation results verify the correctness of the algorithm and the model.

variable ratio; noncircular bevel gear; tooth section line

2016-07-03；

2016-07-16．

天津市应用基础与前沿技术研究计划项目(12JCZDJC34600)．

许爱芬(1972—)，女，博士，副教授．

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2017.03.021

TH132.42

A

1674-2192(2017)03- 0087- 04