正前角双圆弧谐波传动柔轮滚刀设计与齿形误差分析

王仕璞,宋朝省,朱才朝,杨勇,黎新子,廖德林

(1.重庆大学机械传动国家重点实验室,400044,重庆;2.深圳市大族精密传动科技有限公司,518057,广东深圳)

与传统渐开线齿形谐波减速器相比,双圆弧齿形谐波减速器具有承载能力大、啮合齿数多、扭转刚度高、啮合侧隙小、传动精度高等优点[1-3]。在工业机器人、医疗器械与航空航天等领域得到了广泛应用[4-5]。柔轮齿廓的加工精度是影响谐波传动啮合性能的重要因素,但企业在保证柔轮精度的同时需要提升柔轮的生产效率,降低生产成本。同零前角滚刀相比,正前角滚刀切削齿轮时可以减小切屑的变形,进一步使得前刀面与切屑的摩擦减小,从而减少了切削力,降低了切削温度,提高了表面光洁度以及加工生产率,增加了刀具使用寿命,降低了生产成本。但由于正前角双圆弧谐波传动柔轮滚刀(DFHP)与传统渐开线滚刀存在明显差异,两者啮合方式也不尽相同,因而有必要建立DFHP法向齿形与前刀面的数学模型,并深入研究DFHP的设计方法与齿形误差。由于传统正前角滚刀加工误差较大,因此提出了无理论误差的DFHP设计方法。

谐波减速器关键部件的结构参数对其啮合性能影响较大,Chen等提出了一种双圆弧齿形设计方法并研究了其参数变化对谐波减速器啮合间隙的影响,另外为研究轮齿对柔轮齿圈装配应力的影响,建立了包含实际齿廓的实体单元柔轮齿圈有限元模型,根据有限元分析结果,分析最大周向应力随齿根倒圆半径的变化规律,获得了最佳齿根倒圆半径[6-7];董慧敏等为提高谐波传动的啮合性能,提出一种基于轮齿瞬心线的成对双圆弧齿形设计方法,避免了谐波传动齿顶干涉,不再需要圆弧拟合与齿形优化[8];Li等建立了基于支撑函数的波发生器轮廓优化数学模型,并通过有限元方法分析了不同波发生器轮廓作用下,谐波减速器柔轮与波发生器的装配应力[9];姜歌东等针对刚轮凸圆弧段共轭齿廓不确定问题,提出了一种基于柔轮和刚轮齿形联合共轭计算的双圆弧齿形双向共轭设计方法,能够实现多点啮合,有利于减小啮合力、降低齿面磨损,并提出了谐波减速器时变可靠度评估方法,能准确预估谐波减速器疲劳失效寿命[10-11]。

国内外学者针对谐波减速器柔轮加工制造进行了相关研究。Iulian等提出了齿轮滚刀的参数化设计方法,将计算程序与构建三维模型的CAD软件集成,减少设计周期,提升了加工精度[12];Hu等采用渐开线镶齿精切滚刀解决阿基米德齿形滚刀的加工误差问题,提出了一种便于镶齿精切滚刀的设计方法,降低了生产成本[13];Ray等通过优化滚刀几何结构,减小了加工出齿轮的齿根应力[14];Yang等建立磨前滚刀刀齿齿廓理论方程,优化工业滚刀相关参数,建立滚刀三维模型,提高了齿轮加工的效率[15];Wu等推导了双圆弧齿轮滚刀的参数方程,得到了无理论误差滚刀法向齿形[16];张海龙等建立了DFHP齿面数学模型,采用包络法求出加工出齿轮的齿形方程后与实际齿形进行比较,验证结果的正确性[17];刘熙刚等建立了通过齿廓法线法求解刚、柔轮的共轭齿廓数学模型,通过Matlab软件验证了所设计齿形的可行性[18];陈鹏等根据滚刀齿形利用齿廓法线法和包络法求解柔轮齿形并将所得结果进行了数值比较[19]。

综上所述,针对渐开线滚刀、阿基米德滚刀的模型设计,滚齿加工的相关研究已较为成熟,但是对于DFHP的研究多停留在滚刀理论齿形的推导计算上,而对DFHP等效齿形的齿形误差和加工出柔轮的齿形误差的变化规律研究较少;文献[16]中Wu等虽然推导了无理论误差滚刀法向齿形,但是对于DFHP来说仍不能用于实际加工,需要进一步深入研究。

本文根据双圆弧柔轮齿形,采用齿廓法线法推导出了DFHP法向齿廓,并通过坐标转换求出了DFHP前刀面切削刃齿形,建立了DFHP加工仿真数学模型。分析了DFHP各个结构参数之间的数量关系,通过CERO建立了DFHP刀齿三维实体模型。分析了滚刀前角和顶刃后角对DFHP等效齿形的齿形误差及其加工出柔轮的齿形误差的影响。为减小DFHP加工误差,提出了无理论误差的DFHP设计方法。

1 正前角双圆弧柔轮滚刀齿面建模

1.1 正前角双圆弧柔轮滚刀法向齿廓

滚刀加工柔轮的过程可视为齿条与齿轮啮合[19],因此采用齿廓法线法求解正前角滚刀法向齿廓。在加工过程中,柔轮转角为φ2、柔轮分度圆半径为r2时,滚刀齿条移动的距离为r2φ2。根据啮合原理柔轮与滚刀的啮合方程为

(1)

图1 柔轮加工坐标系

双圆弧柔轮各段齿廓如图2所示。xcd、ycd分别为齿顶圆圆心横、纵坐标;rcd为齿顶圆半径;xtc、ytc分别为凸齿廓段圆心横、纵坐标;rtc为凸齿廓段圆半径;xgq、ygq分别为公切段圆心横、纵坐标;rgq为公切段圆半径;xac、yac分别为凹齿廓段圆心横、纵坐标;rac为凹齿廓段圆半径;xcg、ycg分别为齿根过渡段圆心横、纵坐标;rcg为齿根过渡段半径。

图2 双圆弧柔轮齿廓及局部坐标系

齿顶圆弧段表达式为

(2)

式中:u为滚刀上任一点对应的滚刀弧长;β1为齿顶圆段圆心角;l1为齿顶圆总弧长。

凸齿廓段表达式为

(3)

式中:l2为齿顶圆与凸齿廓段总弧长;β2为凸齿廓段圆心角。

公切段表达式为

(4)

式中:l3为齿顶圆弧段、凸齿廓段与公切段总弧长;β3为公切段圆心角。

凹齿廓段表达式为

(5)

式中:l4为齿顶圆弧段、凸齿廓段、公切段与凹齿廓段总弧长;β4为凹齿廓段圆心角。

齿根过渡段表达式为

(6)

式中:l5为齿顶圆弧段、凸齿廓段、公切段、凹齿廓段弧长和齿根过渡段总弧长。

设柔轮齿廓上任一点m2(x2,y2)处的切线与x2轴的夹角为

(7)

柔轮转角为

(8)

坐标系S2(x2o2y2)中柔轮齿面接触点的位矢为

rrl=x2i2+y2j2

(9)

根据式(1)(9)可以求得柔轮在转动过程中的一系列接触点,接触点在坐标系S1(x1o1y1)中即为滚刀齿廓数值解

rg=m12·rrl

(10)

从柔轮坐标系转到滚刀坐标系的变换矩阵为

(11)

DFHP法向齿廓方程为

(12)

以某型号谐波柔轮为例,基本设计参数见表1。

表1 柔轮基本设计参数

采用Matlab编写程序,柔轮理论齿廓如图3所示,生成DFHP法向齿廓如图4所示。

图3 柔轮理论齿廓

图4 DFHP法向齿廓

1.2 正前角双圆弧柔轮滚刀前刀面齿形

将平面坐标系S1(x1o1y1)扩展为空间坐标系S1(x1y1z1),DFHP轴向投影如图5所示,在o1y1z1平面内已知点坐标(xa1,ya1,za1)和正前角大小γq,则直线AA1的方程为

图5 DFHP轴向投影

(13)

已知∠Ao1B的角度θ,则直线o1B的方程为

(14)

设前刀面A-A1与任一轴截面o1-B相交于点Q1,则联立式(13)(14)求解Q点,坐标(yQ,zQ)为

(15)

根据Q1点纵坐标与任一截面o1B内滚刀齿形方程,即可求得Q1点坐标为

(16)

(17)

式中:Kb为滚刀任一截面o1-B内滚刀的齿顶铲背量。任一截面o1-B内滚刀齿形如图6所示。

图6 截面o1-B内滚刀齿形

2 正前角双圆弧柔轮滚刀几何参数设计

2.1 正前角双圆弧柔轮滚刀前角

正前角滚刀切削齿轮时可以减少切屑变形及其流经前刀面上的摩擦,从而减少切削力,降低切削温度,提高表面光洁度和加工生产率以及改善刀具耐用度。对于正前角螺旋槽滚刀前刀面偏位值为e时,滚刀齿顶处正前角γq[20]为

(18)

式中da0为滚刀外圆直径。

则分度圆上滚刀前角[20]为

(19)

式中r0为滚刀分圆半径。

2.2 正前角双圆弧柔轮滚刀顶刃后角

滚刀经齿顶铲背形成顶刃后角。顶刃后角大小直接影响加工表面的质量、刀具耐用度和生产率。当滚刀齿顶铲背量为K,滚刀顶刃后角αe求解公式[20]为

(20)

式中zg为滚刀齿数。

顶刃后角使刃磨后滚刀外径随螺旋线逐渐减小。如图5所示,DFHP前刀面切削刃顶点A处外径为da0,则刃磨后DFHP前刀面切削刃顶点处,外径daq求解公式为

(21)

2.3 正前角双圆弧柔轮滚刀侧刃后角

阿基米德螺旋线滚刀压力角恒定,通常阿基米德螺旋线滚刀侧刃后角求解公式[20]为

tanαch=tanαesinαn

(22)

式中:αch为侧刃后角;αn为压力角。

DFHP法向齿形的压力角变化较大,不能将其视为定值,因此将DFHP刀齿齿形分解为微元切削刃,每一个微元刃等效为压力角恒定的阿基米德齿形滚刀。随着微元刃齿形位置变化,等效滚刀的外圆直径de1随之变化,则等效滚刀所对应的顶刃后角αe1为

(23)

等效滚刀侧刃后角αch1为

tanαch1=tanαe1sinαn

(24)

DFHP压力角与侧刃后角随滚刀弧长的变化如图7所示,压力角αn最大值在齿顶过渡段与齿根过渡段,侧刃后角αch1最大值出现在齿根过渡段。压力角与侧刃后角最小值在公切段与凹齿廓段的临界交点处;压力角与侧刃后角在齿根过渡段增加得最快,在齿顶过渡段减小得最快,在公切段减小得最慢;压力角与侧刃后角在凹齿廓段的变化规律与在齿根过渡段内的变化趋势基本相同。

图7 DFHP压力角与侧刃后角随滚刀弧长的变化

2.4 正前角双圆弧柔轮滚刀齿形角

正前角滚刀齿形角为滚刀侧铲面的轴向齿形角。通常轴向齿形角反应该处切线的斜率。轴向齿形角与滚刀压力角、分度圆螺旋升角、铲背量、前角等滚刀参数相关。工程上直槽滚刀运用较为普遍,则根据螺旋槽滚刀算法,将螺旋槽滚刀的螺旋槽导程设为无穷大,可得滚刀齿形角求解方程[20]为

(25)

式中σ为滚刀分圆螺旋升角。

2.5 基于刃磨的正前角双圆弧柔轮滚刀刀齿实体建模

齿轮滚刀相当于蜗杆,只是在蜗杆上切出了容屑槽以形成切削刃,刀齿经过铲背形成了后角以及各个刀面,同时滚刀磨损后需要刃磨以提高滚刀使用寿命。滚刀刃磨后,新的前刀面移至任一刃磨后位置P,切削刃沿滚刀轴向移动距离Δ,且滚刀外圆半径减小,滚刀各个刀面的位置及刃磨后前刀面位置如图8所示。当滚刀刃磨量极小时可将滚刀刀齿离散为一系列微元前刀面,不同微元前刀面切削刃齿形相当于变位系数逐渐减小的齿轮齿形。将微元前刀面按滚刀螺旋线排列合并可得到DFHP刀齿。DFHP刀齿模型如图9所示。

图8 DFHP各刀面及刃磨后前刀面位置分布

图9 DFHP刀齿模型

3 正前角双圆弧滚刀齿形误差分析

DFHP绕自身轴线旋转与柔轮不断啮合。分析DFHP齿形误差,需将DFHP切削刃齿形旋转投影至滚刀法截面内作为等效齿形。首先将滚刀前刀面齿形投影至滚刀轴截面后,通过坐标转换投影至滚刀法截面内。为求出滚刀轴截面与法截面内前刀面齿形转换方程,建立滚刀基准轴截面坐标系Sz(xzyzzz),基准法截面坐标系Sf(xfyfzf),两者纵坐标轴均按照右手定则确定,如图10所示。将DFHP切削刃上各点绕滚刀轴线旋转投影至基准轴截面,滚刀切削刃法截面投影坐标方程为

(26)

图10 滚刀法截面与轴截面坐标系

式中:αz为轴截面与法截面夹角;(xf,yf,zf)为DFHP法截面投影坐标;(xz,yz,zz)为DFHP轴截面投影坐标。

为研究正前角对DFHP齿形误差的影响规律,取滚刀后角为10°,滚刀前角为3°、4°、5°、6°、7°,将DFHP等效齿形与理论齿形(γq=0°)进行比较。不同前角的DFHP等效齿形如图11a所示,DFHP等效齿形相对于理论齿形齿厚减小,齿高增加;不同正前角滚刀等效齿形顶点与滚刀理论齿形顶点重合;随着滚刀弧长增加,滚刀等效齿形与理论齿形差别增大。

(a)不同前角滚刀等效齿形

(b)不同前角滚刀齿形误差图11 正前角对DFHP齿形与齿形误差的影响

DFHP等效齿形与理论滚刀齿形之间齿形的误差称为滚刀齿形误差。不同正前角滚刀等效齿形的齿形误差如图11b所示,随着弧长增加,等效齿形的齿形误差从0逐渐增加到最大值;随正前角增大,滚刀前刀面齿形误差逐渐增大;DFHP不同齿段齿形误差对正前角大小变化敏感性不同,齿顶过渡段最小,齿根过渡段最大。

为研究滚刀正前角对柔轮齿形误差的影响,根据啮合方程,推导出不同前角滚刀加工出的柔轮齿形,并将柔轮齿形与理论柔轮齿形(γq=0°)之间的齿形误差称为柔轮齿形误差,图12给出了正前角对柔轮齿形与齿形误差的影响。不同前角DFHP加工出的柔轮齿形相对于理论齿形齿厚窄、齿高大、节圆半径小;随着正前角增大,柔轮齿形误差随之逐渐增大;滚刀前角变化对柔轮不同齿段齿形误差的影响不同:对柔轮齿顶圆弧影响较小,而对柔轮齿根圆弧影响最大。

(a)不同前角下柔轮齿形

(b)不同前角下柔轮齿形误差图12 正前角对柔轮齿形与齿形误差的影响

图13给出了顶刃后角对DFHP齿形与齿形误差的影响,取滚刀前角为5°,滚刀后角为10°、12°和14°。不同后角DFHP等效齿形相对于理论齿形齿厚、节园半径减小,齿高大;随着顶刃后角增大,滚刀齿形误差增大;顶刃后角仅改变DFHP齿形误差的大小,不影响DFHP齿形误差的变化规律。

(a)不同后角下滚刀等效齿形

(b)不同后角下滚刀齿形误差图13 顶刃后角对DFHP齿形与齿形误差的影响

如图14所示,不同后角DFHP加工出的柔轮齿形相对于理论齿形齿厚、节圆半径小,齿高大;顶刃后角增大,柔轮齿形误差随之增大;不同后角的DFHP加工出的柔轮齿形误差趋势相同,皆是齿顶圆弧处最小,随弧长增加,凸齿廓段、公切线段、凹齿廓段和齿根过渡段的齿形误差逐渐增大且变化速率逐渐增大;随顶刃后角增大,柔轮齿形误差越来越大;顶刃后角变化不改变柔轮齿形误差的变化趋势。

(a)不同后角下柔轮齿形

(b)不同后角下柔轮齿形误差图14 顶刃后角对柔轮齿形与齿形误差的影响

综上,传统正前角滚刀加工出柔轮实际齿形与理论齿形相比,在齿顶处没有误差,但随着柔轮弧长增加,柔轮齿形误差逐渐增加至最大值。滚刀正前角和顶刃后角对DFHP等效齿形和柔轮的齿形误差影响规律相似;滚刀正前角、顶刃后角越大,正前角滚刀齿形误差越大,加工出柔轮齿形误差越大。根据柔轮齿形推出滚刀理论齿形后,将滚刀理论齿形作为DFHP法向齿廓的滚刀设计方法所设计出的滚刀存在齿形误差,滚刀加工出的柔轮同样存在齿形误差。因此为减小正前角滚刀导致的齿形误差,本文提出新的DFHP齿形设计方法。

4 无理论误差正前角双圆弧柔轮滚刀前刀面齿形设计

为改进以柔轮齿形推导出滚刀法向齿形的传统DFHP设计方法,将由柔轮齿形推出的滚刀法向齿形作为DFHP的等效齿形,在滚刀空间坐标系S1(x1y1z1)中,可推导出轴截面o1-A内滚刀轴向理论齿形。轴向理论齿形在o1y1z1平面内绕o1旋转,其与正前角前刀面AA1的交点Q(yQ,zQ)的表达式为

(27)

式中ygz为理论齿形上任一点纵坐标。

由于整个理论齿形在平面o1y1z1内旋转,不改变其齿形的横坐标,因此将ygz代入理论齿形Gz的方程中可求得xQ,得到无误差DFHP前刀面切削刃齿形。3°前角无理论误差DFHP加工出柔轮实际齿形如图15所示,加工出柔轮的齿形误差如图16所示,最大值为0.14 μm,远小于传统3°正前角滚刀加工出的柔轮齿形误差,因此新的DFHP设计方法可以明显改善滚刀加工时由正前角引起的柔轮齿形误差。

图16 无理论误差DFHP加工出柔轮的齿形误差分布

正前角滚刀切削齿轮时可以减小切屑的变形,从而减少了切削力,降低切削温度,提高表面光洁度以及加工生产率,增加了刀具使用寿命,但传统正前角滚刀加工误差较大,不适用于精密加工。新的滚刀设计方法有效降低了正前角滚刀的加工误差,这对于正前角滚刀应用于精密加工具有重要意义。

5 结 论

为解决DFHP的结构参数设计复杂与加工误差较大的问题,建立了DFHP刀齿三维模型,分析了滚刀前角与顶刃后角对DFHP等效齿形齿形误差与柔轮齿形误差的影响,提出了无理论误差DFHP设计方法,得出以下结论。

(1)DFHP前角越大,偏位值越大;齿顶铲背量越大,顶刃后角越大,刃磨后滚刀外径减小地越快;DFHP侧刃后角随压力角、侧后角增大而增大,随弧长增加而变化;滚刀齿形角随滚刀压力角、滚刀分圆螺旋升角增大而增大。基于刃磨的DFHP刀齿几何设计方法可准确地建立DFHP刀齿三维模型。

(2)DFHP等效齿形与其对应的柔轮齿形相对于各自的理论齿形均齿宽减小、齿高增大;DFHP等效齿形的齿形误差、柔轮齿形误差随正前角、顶刃后角增加而增加;滚刀、柔轮不同齿段的齿形误差对正前角、顶刃后角变化敏感性不同;采用无理论误差的DFHP前刀面齿形设计方法可明显降低正前角滚刀导致的柔轮齿形误差。