精于“数” 简于“形”
——《数形结合》教学设计与建议

王立松　李翠珍

【教学内容】

人教版六年级上册第107页例2，练习二十二第5题、第8题。

【教学过程】

一、以数引形——由复习到引入

1.出示算式：1+3+5+7=（）

师：这是我们非常熟悉的10以内的奇数连加，它的结果是多少？

生：16。

师：你真棒！你是怎么算的？

生：首尾相加，即8×2=16。

师：想法真好！那1+3+5+7+9+11+13=（）呢？

生：49，我是找出这些数的平均数，即7×7=49。

师：是的，我们用已学知识很快就能算出它们的和，不过今天我们要换一个角度来求它们的和。猜猜看是什么角度？

生：从图形的角度。

师：是的，今天我们就来从图形的角度研究——数与形。（板书：数与形）

二、借形解数——由图形到直观

出示例1：

图1　

图2　

图3　

师：我们一起来看看图2和图3各有多少个像图1这样的小正方形？

生：图2中有4个图1这样的小正方形；图3中有9个图1这样的小正方形。

师：同学们动动脑筋想想，你能用算式表示出每个图中小正方形的个数吗？

生：图1:1×1=1，图2:2×2=4， 图 3:3×3=9。

师：观察这几个图形与计算出的得数（1,4,9），你有什么发现？

学生回答教师动手操作（摆不同颜色的小正方形）

师：如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？

（学生说教师板书）

生：1=1×1

1+3=2×2=4

1+3+5=3×3=9

教师板书：1=12

1+3=22

1+3+5=32

师：在这里“形”能直观解释“数”的计算，同学们想一想按照这样的规律，“图4”会是什么样子？有几个这样的小正方形？

（小组合作，操作、观察、思考）

师：观察例1中的这些图形和算式，你有什么发现？

生1：大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。

生2：左边加法算式里的加数都是奇数。

生3：有几个加数相加，和就是几的平方。

生4：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。

师：根据同学们的发现，想一想，第10个图形中有多少个小正方形？第100个图中呢？

（学生汇报）

教师小结：同学们非常善于观察和思考，学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过来直观图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。

三、由数解形——由抽象到具体

1.出示图 4：

师：仔细观察图4，你有什么发现？

图4　

生1：我发现分子都是1，分母都是偶数，并且后面数是前面的2倍。

生2：这些数分别把圆平均分成2份、4份、8份、16份……每一份是前一份的。

师：图中的省略号表示什么？

生：是按生2讲的规律分下去，有无数个。

师：猜猜看它们的和是几？为什么？

师：这道题等于几？你是怎样计算的？

师：这道题就是利用了数形结合思想。数的问题可以用形来帮助解决，形的问题也可以用数来帮助解决。通过图我们发现结果无限接近“1”，像这样无限接近“1”，它的得数我们就写作“1”。

四、数形结合——由繁杂到简单

1.出示“做一做”第1题。

1+3+5+7+5+3+1=（）

1+3+5+7+9+11+13+11+7+5+3+1=（）

师：请同学们仔细观察比较一下，这些题与我们刚学的例1有什么异同点？你怎么解决呢？

生：这是和前面不一样，它是一道组合题，只要将1+3+5+7+5+3+1分成（1+3+5+7）+（5+3+1）=42+32=25。

2.出示：7+9+11+13+15+17=（）

师：这道题又该怎样解决呢？

生：可以利用减法算，7+9+11+13+15+17=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（1+3+5）=92-32=72。

师：你的思维非常缜密！

3.出示“做一做 2”：

下面每个图形中各有多少个浅色小正方形和多少个深色小正方形？

浅色：1234

深色：8101214

照这样接着画下去，第6个图形有多少个浅色小正方形和多少个深色小正方形？第10个图形呢？第n个图形呢？

生：第6个图形浅色是6个，深色是18个；第10个图形浅色是10个，深色是26个；第n个图形浅色是n个，深色是2n+6个。

4.出示“练习二十二”第2题。

请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。

师：请同学们仔细观察图小圆片和对应的数，你有发现什么规律？

生1：第一行1个，第二行2个，第三行3个，第四行4个。

生2：第2个图形比第1个多2个，第3个图形比第2个多3个，第4个比第3个多4个。

师：那要算出图中有多少个小圆片应该怎样列式呢？

生：可以用1+2+3+4=10。

师：如果不画，按照这样排列规律，第10个图形有多少个小圆片？怎么列式？

生：只要算出连续自然数的和就可以了，列式为1+2+3+4+…+10=55。

师：那你能找出第n个图形的规律吗？

生：1+2+3+4+ … +n=n×（n+1）÷2。

五、数形延伸——由课本到生活

师：这节课我们一起研究了“数与形”，你们能用今天所学知识解决我们生活中的问题吗？（家庭作业）

出示“长宴桌”：

8人12人16人

想一想，这样的10张桌子连在一起，一共可以坐多少人？