水柱法模拟平抛运动中粘滞力对水流初速度的影响及修正

王绍菊 张学艳 朱镜红 张芳芳 姚 斌

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

水柱法模拟平抛运动中粘滞力对水流初速度的影响及修正

王绍菊 张学艳 朱镜红 张芳芳 姚 斌

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

利用水平喷出的细水柱可直观地显示平抛运动轨迹，实验简单，可操作性强.现有的模拟实验通常忽略了空气阻力和粘滞力对水柱模拟平抛运动中的影响.在分析空气阻力和粘滞力理论的基础上，通过对水柱平抛实验的测量和计算，获得了粘滞力对水流初速度的影响，并求出了粘滞力影响的修正函数.

平抛运动 水柱法 粘滞力 修正函数

利用水柱模拟平抛运动的方法，能一次性描绘出平抛物体的运动轨迹，并能求得平抛物体运动的初速度，完全满足教材中“研究平抛运动”实验的要求[1].在该类实验中，水从容器的出水口流出之前，由于流体之间以及水与容器之间的相对运动，将受到粘滞力[2]的作用，造成实验中的初速度与理论上的初速度有所偏差.为了说明粘滞力对平抛运动中初速度的影响，本文将从理论分析和实验分析的角度，比较水柱模拟平抛运动中实验获得的出水初速度与无粘滞力情况下的理论初速度，获得相应的修正值和修正公式，为利用水柱模拟平抛运动的实验分析提供理论参考.

1 实验装置

实验原理如图1所示.在容器下部开一小孔B，小孔B的线度与容器内水表面A至小孔所处深度h相比很小，且容器横截面积较大，水在从小孔流出的过程中h几乎保持不变，因此可认为，在实验过程中从小孔B流出的初速度不变.

图1 实验原理图

2 理论分析

2.1 空气阻力的影响分析

实验中水自孔口B流出，将受到重力和空气阻力的作用.由于水流出孔口B之后以水柱的形状在空中形成平抛轨迹，因此可把水柱看作很多个水滴所组成.于是，利用斯托克斯定律[3]可求出水滴所受的空气阻力为

f=6πηvr=1.024×10-6N

(1)

其中η=1.81×10-5Pa·s(实验时环境温度20 ℃下的空气粘滞系数)，v为实验中水滴的运动速度(最大为3 m/s)，r=0.001 m(水滴的半径).而水滴所受重力G为

(2)

其中ρ为水的密度1×103kg·m-3，g=10 m/s2.由此可得，水滴在空气中受到的最大空气阻力仅为水滴重力的2.4%.因此，在本实验中，空气阻力对于水柱的影响可以忽略不计，则水流出孔口B之后的运动可看作平抛运动.

2.2 粘滞力的影响分析

当将水看成理想流体时，则水流动过程中将不受粘滞力的影响，运用伯努利方程[4]

(3)

(p0为大气压，v理为小孔B处的出口速度)求出在深度为h的开孔处水流初速度理论值为

(4)

而在实际中，水从孔口B流出之前，由于流体之间的相对运动以及流体相对于容器的运动，水将受到粘滞力的作用，造成从孔口B流出的流速v测小于看作理想流体时的流速v理，将这个差值记为Δv=v理-v测.这个差值Δv即反映了水从孔口B流出之前受粘滞力的影响情况.

3 实验方法及数据处理

本文基于流体连续性的特点用水代替金属小球，用水柱模拟平抛物体运动，通过自制设备进行多次实验，如图1所示，水从B孔流出做平抛运动，使用平面镜将水柱模拟的抛物轨迹投影到描图板上.待抛出的轨迹稳定后迅速用铅笔在坐标纸上沿着投影轨迹描图.该实验采用控制变量法，保证开孔大小及水密度不变的情况下，进行深度分别为5，7，9，10，12，14，16，17，18，20 cm的抛物轨迹描绘及初速度计算.

由于不能确定水滴在出口时在曲线中的位置，也就是说不能确定竖直方向初速度为零的点，因此在数据处理时，不能运用自由落体方程求解，则本文采用了残缺轨迹[5]求平抛运动的初速度的方法，原理如图2所示.

图2 出口速度计算原理图

在曲线上任取两点A和B，则可列出相应的轨迹方程

(5)

则平抛运动的初速度可得

(6)

表1 出口初速度的测量值

注：上表数据计算中g=10 m/s2.

不同深度对应的出口初速度理论值可通过式(4)计算得出，如表2所示.

表2 出口初速度的理论值

实验结果表明，初速度的理论值和实验值之间确实有较明显的差值，在空气阻力忽略的情况下，水受到的粘滞力即为影响该差值的原因，差值Δv=v理-v测，为了更直观地表明粘滞力对实验的影响，本文作了Δv-h的关系研究，相关数据如表3所示.

表3 Δv-h修正数据

将Δv-h在5～20 cm范围内进行了曲线拟合，如图3所示.

图3 Δv-h拟合曲线

4 结论

本文结合理论分析和实验分析，得出在忽略空气阻力的情况下，粘滞力对孔口B处水流速度的影响.实验结果显示，在开孔深度h为5 cm～20 cm范围内，h越小，实验中孔口B处的水流速度受粘滞力的影响越大.究其原因是由于当h越小时，水流元在出口处停留的时间就越长，因此所受粘滞力的影响就越大.分析图3中的拟合曲线，可利用反比例函数描述粘滞力的影响，因此可得

对于本实验装置，通过拟合曲线可求出各常数分别为a=1.506，b=-0.872 9，c=0.746 7.

1 张大昌.普通高中课程标准实验教科书必修2．北京：人民教育出版社，2004

2 章梓雄,董曾南.粘性流体力学.北京：清华大学出版社，2011

3 刘鹤年.流体力学(第2版).北京：中国建筑工业出版社，2004

4 靳铁良.伯努利方程及其简单推导.内江科技，2004, 25(6)：74～78

5 蒋守培.由残缺轨迹求平抛运动的初速度.物理教师，2012(1)：33～34

6 罗憧乾.流体力学.北京：机械工业出版社，2000

7 潘路.对“水的平抛”的几点释疑.物理教师，2010，31(11)：38～40

8 罗春焱，罗德刚，李伟.有关平抛运动实验中测初速度方法的探究式教学与反思.物理教师，2014(5)：26～27

王绍菊(1992- )，女，硕士研究生，主要从事物理教学研究.

姚斌(1980- )，男，博士，副教授，主要从事大学物理教学研究和电磁理论研究.

2016-10-10)