在线数学教学系统设计及其应用效果研究

贾积有+张必兰+颜泽忠+任珺+程宝贵

【摘 要】

作为中小学教育核心课程之一的数学，其重要性在国内外都不言而喻。然而，如何在学校班级教学环境下激发学生的数学学习兴趣、进行个性化辅导，长期以来是摆在数学教育者面前的难题。本文介绍了在教学理论指导下设计的网上数学教学系统——“乐学一百”。该系统具有即时反馈、几何作图智能判断、游戏化激励等多项功能。本文详细研究了该系统在一所中学一个学期的混合式教学课程实验情况，在准实验中收集的学生成绩、学生调查、学生和家长反馈、教师访谈等多维度的数据表明，该系统可以有效提高学生的数学学习兴趣，改善其学习表现，减轻数学教师负担。研究表明：该系统交互性的重要表现——即时反馈和正面激励是其产生积极影响的重要原因。同时，该系统的智能化程度需要进一步提高，以满足众多学生的个性化学习需求。

【关键词】 数学教学；教学系统；教学效果；即时反馈

【中图分类号】 G434 【文献标识码】 A 【文章编号】 1009-458x（2017）03-0037-08

一、研究问题

数学是中小学教育阶段国际公认的核心课程之一。世界经济合作与发展组织（Organization for Economic Co-operation and Development，简称“经合组织（OECD）”）的国家和地区发起的国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，PISA）测试就包括数学知识考试，它也逐渐成为衡量不同国家之间中小学教育成就的一项重要指标。

但是，在学校常规班级教学中，较高的生师比使得数学教师不可能考虑每个学生的学习进度，也不可能针对每个学生的学习情况给予即时反馈，提出恰当建议，进行个性化的辅导和兴趣激励。而在数学学习中，特别是在应用基本知识解决问题的过程中，即时而恰当的反馈、建议、辅导和激励对学生来讲是至关重要的。

计算机辅助学习系统最重要的优点就是能够自动给予学生即时而恰当的反馈，这也是其智能性的重要体现。所以，长期以来，以计算机辅助教学系统为代表的现代教育技术在数学教学中得到了广泛应用。但是其实际应用效果究竟如何呢？

二、相关研究简介

国际上有大量关于计算机支持的数学教学效果的实证研究，因为篇幅限制不能详细列举，简要介绍相关元分析研究的成果。元分析是一种文献研究，其研究对象是已经出版的实证研究文献，研究方法是对这些实证研究的结论进行分析，以便总结和概括这些实证研究结论所反映的共性和规律。国外很多关于计算机辅助教学（CAI）的元分析研究（Burns， 1981； Hartley， 1978； Kulik & Kulik， 1991； Liao， 2007； Tamim， Bernard， Borokhovski， Abrami， & Schmid， 2011）分别分析了几十个、几百个乃至几千个研究，普遍指出：计算机辅助教学与传统教学手段相比，对于学生的学习表现可以起到更加显著的正面影响。对于学业表现较差的学生而言，很多研究（Lynch， Fawcett， & Nicholson， 2000； OByrne， Securro， Jones， & Cadle， 2006）也表明计算机辅助教学对于其学习成绩可以起到正面的促进作用。

在数学领域的大量元分析中，Cheung和Slavin（2013）考察了K-12学校的教育技术应用对学生数学成绩的影响，因为美国学生的PISA数学成绩表现长期以来不如其他OECD成员国，而教育技术应用于数学教学是改善美国中小学生数学成绩的一项有效手段，正如美国数学教师协会曾经指出的“技术在数学的教与学中至关重要”。他們设置了非常高的研究方法标准（最少持续12周，有实验班和对照班，常规教学条件，有要求严格的前测和后测成绩），筛选出了74篇高质量的研究论文。这些研究包含的学生样本量为56，886。其中45篇研究了小学阶段的31，555名学生，29篇研究了中学阶段的25，331名学生。该元分析发现：一般来说，与传统教学方法相比，教育技术应用都对学生学习产生了正面影响。

在此研究之前，国际上20多个元分析研究考察了教育技术对学生成绩的影响，其中7个关注数学学科。这些研究也都发现了教育技术对学生数学成绩的正面影响。

国内不少研究也介绍了计算机支持的数学教学系统，但是关于其教学效果的实证研究不多。从中国知网（CNKI）检索后，我们发现了以下两篇关于技术支持数学教学的实证研究。

张文兰等（2013）对参加三个月的电子书包实验的试点班和对照班的数学考试成绩进行了统计和分析。前测中两个班成绩无显著性差异，后测也无显著性差异，但是实验班比对照班成绩高出0.21分。该文对成绩提高不显著的原因进行了分析，包括实验周期有限（三个月）、设备技术和功能的局限性等。

管珏琪等（2015）分析了参加两年电子书包实验的三年级和四年级学生和同时期未参加实验的学生的期末数学成绩，发现不论是三年级还是四年级，期末数学考试中，参加实验的班级的成绩都显著高于未参加实验的班级的成绩。但是，该文没有介绍实验班和非实验班在参加实验前的成绩差异，也未介绍除了实验变量（电子书包）外，实验班和非实验班是否还受其他不同因素的影响。

基于以上的相关文献分析，我们发现：国内关于计算机支持数学教学的实证研究不多。本研究拟选择某所学校的数学教学进行较长时间的准实验研究，以提高实验结果的可信度。

三、教学理论基础

行为主义学习理论强调通过强化与教学目标相关的刺激和激励来实现学习。计算机辅助教学系统给予学生的即时反馈和建议就是这样的刺激和激励。行为主义指导下的计算机辅助教学，强调计算机能够激发学生的反应，并给予学生及时、详细和恰当的反馈，而这种反馈能够包含对学生表现的评价（Skinner， 1958）。Tobias（1973）发现，学生建构性的反应对于提高学业成绩而言是最有效的，而且，这种对于学生的明确反馈会引起学生的极大关注，并进一步导致更好的学业成就。Clariana和Lee（2001）也认为，网络学习中的明确反馈可以提高学生的学习成绩。

认知主义强调研究和理解人脑内部的复杂过程：感知能力、解决问题的策略、决策过程和对复杂关系的理解，等等。学习是多层次的信息加工过程，包含了对于信息的解释和评价。教学不是知识的简单传递，而在于学生积极主动的获取。学生是一个积极的信息加工者——积极地做出选择和注意等反应，积极地组织已经知道的信息，积极地寻求相关信息来解决问题。教师要为学生创造良好的条件激发学生的学习动机，提供合理的学习策略，从而促进学生的学习（Gagne & Briggs， 1974， pp. 10-20）。

混合式学习方式將传统的班级教学与通过国际互联网或局域网进行的在线学习结合起来。Dziuban、Hartman和Moska（2004）指出：“混合式学习应该被看作一种教学方法，它将课堂教学的社会性和有效性与在线学习环境技术支持下的主动学习结合起来。”Bonk和Graham（2006， p.1）强调：“混合式学习环境将传统面对面的教学方式与计算机支持的在线学习结合起来。”混合式学习是计算机辅助教学的一种教学应用方式，强调传统的班级教学与计算机支持的学习的有机结合。网络教学系统支持的数学学习与传统的学校教学结合起来，显然是一种混合式学习。

四、教学理论指导下的系统功能设计

北京乐学一百在线教育科技有限公司总结近15年多媒体教育软件及混合式教学实践经验，研发了“乐学一百”在线教学系统。该系统聚焦于中小学数学教学，在行为主义和认知主义等教学理论指导下，提炼出了适应中小学生在线学习的3I教学法并将该教学法贯穿到系统设计之中：个别自适应学习，自定步调（Individualized Adaptation）；渐进掌握式学习，小步闯关（Incremental Mastery）；互动发现式学习，持续互动（Interactive Discovery）。

在内容上，该系统包括与全国初中和小学数学大部分通用教材相配套的习题内容，全部为自己研发。与传统印刷版的习题集不同，该系统能够根据学生提交答案的快慢和正误，给予即时反馈和游戏化的积分激励，而不是单纯呈现解题过程和答案。

我们以北京师范大学出版社《初中数学》（七年级下册）为例，介绍该系统的主要功能和3I教学法的具体实施。该册内容包括了“整式的乘除”“相交线与平行线”“变量之间的关系”“三角形”“生活中的轴对称”“概率初步”等。在每一部分，设置了若干关卡练习。比如在“生活中的轴对称”部分，设置了18道关卡（如图1所示）。前面的15关是关于“生活中的轴对称”的若干分解任务的（如第一关是认识轴对称，第二关是“画轴对称图形”，等等），后面的3个关卡分别是“挑战100分”“检测”“错题更正单元”。“挑战100分”和“检测”是综合性练习，而“错题更正单元”是本单元出现的错题集合。

这些关卡题目的做题顺序，完全由学生自我控制，可以根据情况自由选择，这就是“个别自适应学习，自定步调”的含义。

第八关是“等腰三角形练习1”，包含10道题，满分为100分，并设置了标准时间，为2到4分钟。如果做题时间短于标准时间的下限，即2分钟，则加分；如果做题时间长于标准时间的上限，即4分钟，则减分。这些题目采用填空题或选择题的形式，系统可以判断用户答案的正误。如果答对了，系统给予“正确”之类的提示，进入下一道题目；如果答案错误，系统则给出“错误”或者“再想一想”之类的提示，学生必须再次输入或者选择正确答案，直到该题目答案正确为止，才能进入下一道题目。这就是“渐进掌握式学习，小步闯关”的含义。每个关卡的通过，系统给予正确或者错误的提示，就是行为主义教学思想的体现；这样一系列的围绕等腰三角形等知识点的小步骤闯关过程，可以帮助学生深刻理解相关知识点，体现了认知主义的教学思想。

如果学生实在做不出来，可以求助在线的“老师答疑”。这种人工在线辅导加上系统自动给出的答案正误的反馈，构成了“互动发现式学习，持续互动”的教学环境。

以上我们介绍了“同步闯关”的基本内容。每个关口的做题过程都会保留下来，便于用户以后复习。闯关成功后，学生可以看到本次练习的得分、一次正确率、所用时间、（相对于标准时间）提前/延迟、基础学分、奖励学分、获得乐币（该平台的一种虚拟货币）、当前乐币。其中的得分、奖励学分、基础学分和获得乐币是综合考虑一次正确率、所用时间等多个做题表现指标计算得出的。

除了学分和乐币，如果该生能够持之以恒地练完一章的内容，系统还授予学生勋章。同年级同一学段学生，还按照其获得学分、乐币多少设置了排行榜；只要是注册用户，都能在排行榜上找到自己的位置和要超越的对象。学生还可以使用学习获得的乐币来换取实物奖品。

除了“同步闯关”，还有“强化技能”“挑战100分”“竞赛培优”“专项训练”“最后一题”。这些内容属于基础知识和基本技能之上的较高要求。此外，该系统能够自动收集学生在单元闯关中所有题目的答案，并特别关注做错的题目，形成个人错题集，便于学生开展针对性的纠错练习。

为了辅助学生学习比较困难的几何作图，该系统设计了几何作图智能判断引擎，自动判断学生的几何作图是否符合题目要求。借助这个工具，学生不仅能够学习常规作图方法，更能创造性地解决几何问题。

为了创建社会化的学习环境，系统还设置了“同学动态”窗口。学生用户可以选择打开或者关闭该窗口。该窗口上动态显示其他同学的做题情况，以及家长给予孩子的表扬和乐币奖励。

五、研究方法

本课题研究方法主要是准实验研究。准实验研究的基本思路为：根据学校正常教学工作的安排，选择其中一个班作为实验班，其他作为控制班（对照班）。实验班和控制班的教学内容、进度和方法完全一致；唯一不同的是，实验班要通过网络在智能教学系统上完成老师布置的作业，而对照班仍然按照传统方式完成老师布置的作业。

在准实验研究中，自变量是参加混合式学习与否，因变量是学生的考试成绩及主观反应。通过分析历次考试成绩来比较实验班和控制班的数学学习成效；通过调查问卷和访谈等方法了解学生对于数学学习和数学教学系统的感受和认识。

对于考试成绩，主要比较实验班和控制班在同一次考试中的成绩差异，也就是进行横向比较。这是因为在同一次考试中，两个班的考试内容完全相同，其成绩具有可比性。而同一个班（如实验班或者控制班）在不同时期的两次常规考试中，考试内容一般都不相同，难度也不一定相同，所以前后两次的成绩不具有可比性。因此，不进行同一班前后成绩的时序纵向比较。在比较实验班和控制班两个班成绩的时候，主要考察的统计指标包括：

（1）每一班成绩的平均值。它反映了全班同学成绩集体性的平均表现；两个班成绩的差异就用两个班成绩平均值的绝对差来表示；每次考试每个班平均成绩在整个年级的位置变化，也反映了其成绩的变化幅度。

（2）每一班成绩的标准差。它反映了全班同学成绩的离散程度。

（3）两个班平均成绩差异t检验的结果。它反映了两个班成绩差异的统计学显著程度。t检验是一种假设检验；假设两个班的成绩相同，如果计算出来这种假设的概率很小，比如一般设为小于0.05（即5%），则认为这种假设不成立，即两个班的成绩在统计意义上是有差异的，或者说两班成绩的差异在统计上是显著的。t检验可以用SPSS等统计软件来进行。

（4）效果尺度（Effect size）。综合考察两个班平均成绩的差异和每个班成绩的离散程度。国际上常用Cohens d这一变量来表示效果尺度（Cohen， 1992）：

[d=Mean1-Mean2Standarddeviation]

其中，Mean1和Mean2是实验班和对照班的评价成绩，而加权标准差（standard deviation）由下列式子计算得出：

[Standard deviation=n1*SD12+n2*SD22n1+n2-2]

其中，n1和n2分别是两个班的人数，SD1和SD2分别是两个班成绩的标准差。

调查问卷的实施，则通过网络调查问卷系统（Limesurvey）来实现，简单、快捷、方便。

六、基于混合式教学思想的课程整合实验

2015年9月到2016年1月，“乐学一百”系统在四川一所初中的数学教学中进行了准实验研究。初一年级四个班的教学内容、要求、进度和方法基本相同。选取其中一个班为实验班，其他三个班不使用该系统，作为对照班参与课题研究。

按照混合式教学的基本思想，实验班使用“乐学一百”系统（如图2所示）。具体教学流程为：

课前，教师通过“乐学一百”给学生布置“引导单元”部分的作业，让学生进行课前预习时完成该部分的作业。教师通过系统检查学生的预习结果，即查看学生是否完成了引导单元的练习和成绩如何。

课上，教师根据学生预习的情况对教学内容做适当调整，具体表现在：对学生在“引导单元”基本上回答正确的题目进行略讲，对经常出错的知识点进行重点讲解，或者请答对的同学板书演示，有时候也请同学们使用平板电脑对难题进行深入讨论（如图3所示）。此外，在上单元小结或者知识点小结的课堂上，教师会直接分析学生之前做过的题目。对于那些得分很高、表现很好的同学，教师会在课堂上给予口头表扬，对于那些没有及时过关的同学，则会询问原因，究竟是网络原因、时间原因还是其他原因，然后再根据学生反馈的情况提出不同的要求。

课后，实验班学生除了用大约25分钟时间完成一本常规练习册中的配套练习之外，还需完成“乐学一百”中的练习，约10分钟。对照班学生则要完成两本常规练习册的配套练习，时间约为50分钟。

七、实验结果

根据收集到的考试成绩数据、学生调查数据、学生和家长反馈以及教师访谈，对实验结果进行分析。

（一）考试成绩

我们收集了2015年11月份期中考试，12月份月考和2016年1月份期末考试实验班和其他三个对照班的成绩。期末考试的形式、题型和总分的情况是：考试分A、B两卷，A卷100分，其中选择题10个共30分，填空题4个共16分，解答题8个共54分；B卷50分，其中填空题5个共20分，解答题3个共30分。

从该表可以看出，在试验初期，实验班比对照班的成绩高出3.8分，统计意义上不显著（p=0.107），实验班相对于对照班的效果尺度也仅仅为0.18。一个月后，成绩差异扩大到5.2分，但是差异显著性和效果尺度有些缩小。再经过1个月，成绩差异扩大到6.1分，这种差异从统计意义上是显著的（p=0.049），实验班相对于对照班的效果尺度也扩大为0.25。

（二）问卷调查

在实验学期结束后，我们设计了一个网络调查问卷，调查学生的数学学习情况和使用“乐学一百”系统的体验和感受。问卷包括三个部分：个人基本信息、对学习平台的评价和数学学习效果评估。因为在现有研究文献中没有找到中学生数学学习评价量表，该问卷内容根据本研究的实际情况自行设计。

实验班48人中有42人提交了有效问卷，其统计情况如下。

在个人基本信息部分，关于学生的性别，答案显示男生为18人（42.9%），女生为24人（57.1%）。年龄均值为13岁。平均每次在“乐学一百”在线学习平台上学习的时间，均值为47.4分钟。

第二部分是对“乐学一百”在线学习平台的评价，含有九道题；第三部分是数学学习效果的自评，含有五道题。第二和第三部分共14个问题，都为单项选择题，答案為5个分值的Likert量表，1表示非常不同意，2表示不同意，3表示不确定，4表示同意，5表示非常同意。对这14个问题的答案进行信度分析，发现其Cronbachs Alpha值以及基于标准化项的Cronbachs Alpha都为0.987，表明该问卷可信度很高（如表2所示）。

表3显示了这14道题的描述统计结果，从中可以看到，对系统平台感受的9个问题，均值都在“同意”（4分）附近。最高的一项是“即时给予正面的反馈能增强自己的自信心”，为4.05分。可见，该系统界面美观、布局合理、简便易用、稳定可靠，题目质量高、数量合理，以及排行榜和乐币等游戏机制可以激发学生的学习兴趣和积极性，即时反馈增强了学习自信心，在线答疑机制帮助学生释疑解惑。因此，学生喜欢使用这个智能学习平台。不过这9个问题的均值都未达到“非常同意”（5分）的程度，可见学生对这个平台还有更高的期待值，说明该平台还有很大的改善余地。

对学习效果的5个问题，均值略低于“同意”（4分）。最高的一项是“提高了自主学习能力”，为3.98分。可见，该系统提高了学生的学习兴趣、分析和解决问题的能力、学习自信心、自主学习能力，帮助学生掌握了相关知识。但与“非常同意”（5分）还有一定的距离，可见该平台在改善学生的数学学习方面还有很大的提升空间。

在调查问卷的结尾部分，还有一个开放性问题，请同学们畅所欲言，谈谈使用系统的体会和感受。分析这些反馈内容后，可以将其分为三类：正面评价、建议，以及正面评价+建议。25个同学都给予了正面评价，包括：“‘乐学一百让我不会的题都会做了，让我的能力提升了”“乐学对我有很大帮助，让我掌握知识，还让我增加对学习的兴趣”等。12条建议包括：“有时候数学符号有点问题”“希望答疑老师能够更好地去引导学生！”，等等。既有正面评价又有建议的反馈3条：“建议改进一下网页部分页面脚本错误的问题，感谢乐学一百对我的帮助！”“在线答疑有时候会人太多，解答不了，其他都挺好的”和“希望把答案做成多样化，其他方面都非常好”。

从这些反馈中看出，大部分学生对该系统的评价是正面、肯定和赞扬的，还有一些同学提出了合理化建议，比如4条建议是关于在线答疑功能的，应该在这方面进一步完善。

（三）学生和家长反馈

为了解学生和家长对“乐学一百”系统的感受，随机请5位同学及其家长书面总结了学习心得和反馈意见。

学生A说：“自从开始使用‘乐学一百，我对数学有兴趣了。以前上课不喜欢听课，总是走神，现在上课也不浮躁了。”学生B说：“自从学了以后，感觉我的基础上升不少，成绩也提高了，让我对数学有点感兴趣了。而且不会的题可以问老师，还可以到网站的市场上买很少见的东西，这是激发我学习的动力之一。”学生C说：“在‘乐学一百中，不仅学习到了知识，也收获到了学习的快乐。”上述学生的反馈可以概括为：这种学习方式提高了学习数学的兴趣，体验到了成功的快乐，增强了学习信心，提高了学习成绩。

家长A说：“通过这次活动，孩子对数学逐渐有了学习兴趣，希望能继续加油，多动脑，多做题，把成绩提高上去。”家长B说：“孩子学了‘乐学一百以后我们很高兴，她自己也觉得很好，我们很支持。”家长C说：“‘乐学一百的课程设置与学校的教学内容紧密相关，而且对教学内容进行科学的分解，使学习更容易，便于孩子理解和掌握，而且教学方式灵活多样、趣味性高，真正做到了让学生快乐学习，学习成绩有所提高。”上述家长反馈意见可以概括为：这种学习方式帮助孩子增强了学习数学的兴趣和信心，体验到了学习数学的快乐与成功。

（四）教师反馈

我们访谈了参与课题的数学教师，了解实验班和对照班的基本情况，听取其对系统的评价和建议。该教师认为，该系统能够客观、准确评价学生的学习情况，可以帮助教师进行个性化教学，让教师清楚地知道每一个学生的学习状况。此外，习题是模块化的知识点，能够帮助学生快速掌握知识。闯关游戏，对学生起到一定的激励作用。每一道题目都会给学生积极的反馈，增强学生的自信心。如果学生遇到困难，答疑系统就会提示“需要帮助吗”，能及时帮助学习上遇到困难的学生。

该教师同时建议：“把知识点与课标结合，根据课标的要求，在理解和掌握方面多下功夫。加強题目的随机性，派给每个学生的题目最好不一样。学生做错题目进行二次过关的时候，只针对错题，不要重复前面的题目。加强系统的数据统计功能，给老师和学生更多的参考信息。”

八、研究结论和讨论

我们介绍了网上数学教学系统“乐学一百”的基于教学理论的设计思想，自动判分、即时反馈、几何作图智能判断、游戏化激励等多项功能，及其在一所中学一个学期的课程实验情况。在准实验中收集的学生成绩、学生和家长调查反馈、教师反馈等多维度的数据表明，该系统可以有效提高学生的数学学习兴趣，改善其学习表现，缩短学生课后作业时间，帮助教师了解学生情况，减轻教师负担。该系统交互性的重要表现之一——即时反馈和正面激励是其产生积极影响的重要原因。基于行为主义和认知主义教学思想的“3I”系统功能设计为学生提供了学习新知识、加深理解和巩固运用所学知识的机会。基于该系统功能的贯穿于课前预习、课中学习和课后复习的混合式教学实践为该实验的成功奠定了坚实的基础。

不过，学生和教师的调查反馈也指出，该系统在提供学生游戏化激励的同时，也应该增强其智能性和适应性，给学生提供适应性的测试题目、恰当的做题提示和帮助，实现个性化教学。也就是说，数学教学系统的未来在于智能化，即智能教学系统（Intelligent Tutoring System， ITS）。

一个智能教学系统（ITS）是指一个能够模仿人类教师或者助教来帮助学习者进行某个学科、领域或者知识点学习的智能系统。它是人工智能技术在教育领域的一个重要应用方面。人工智能技术是教育技术与学习科学的基石之一（张剑平， 陈化品， 2008； 张建伟， 2013）。VanLehn（2011）对大量智能教学系统研究成果的元分析结果发现，在效果尺度（ES）上，人工一对一的教学方式与智能教学系统无显著性差异（分别为0.79与0.76）。智能教学系统的辅导颗粒度（Granularity）越小，也就是说辅导越细致入微，效果越明显。“乐学一百”系统的“渐进掌握式学习，小步闯关”功能设计已经初步体现了这种思想。该系统如果进一步改进、提高智能化程度，可以节省大量人力资源和成本，大幅度提高社会和经济效益。具体改进的方向包括：实现对学生的基于自然语言的个性化智能答疑，替代现有的人工辅导答疑模式；把教师的教学资源、考试资源方便地整合到系统中，与原有的教材形成互补；针对学生的历史学习纪录，进行智能化的内容推送和学习测评等。

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收稿日期：2016-01-08

定稿日期：2016-06-17

作者簡介：贾积有，博士，教授，博士生导师，北京大学教育学院教育技术系，北京大学教育信息化国际研究中心主任（100871）。

张必兰，硕士生在读，北京大学教育学院教育技术系（100871）。

颜泽忠，中学一级教师，成都市棕北中学（610041）。

任珺，研发副总裁；程宝贵，内容总监，北京乐学一百在线教育科技有限公司（100085）。

责任编辑 韩世梅