数学三角函数解题常见误区探讨

2017-04-18 00:24余文泰
现代商贸工业 2016年33期
关键词:三角函数高中数学解题

余文泰

摘 要:重点分析了高中数学三角函数解题的常见误区,主要从三角函数平移概念问题、求角问题以及函数图像问题三个方面入手,强调了解题过程中容易出现的错误,并给出了正确的解题方法,希望能够为高中同学提供参考。

关键词:高中数学;三角函数;解题;常见误区

中图分类号:G4 文献标识码:A doi:10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.33.165

0 前言

三角函数是高中数学中的重要知识点,在高考中也占据着重要位置。在三角函数解题过程中,易出现一些思维误区,进而导致解题错误。通过对三角函数常见误区进行分析,使同学加强对易出现问题的关注,避免在解题过程中出现上述情况,进而提升答题技巧。

1 三角函数平移概念问题

平移问题是高中三角函数中的重要问题,此中题型较为常见,同时在解题过程中,也很容易出现失误。总的来说,解决评议问题不能仅仅以公式为主,也不能仅仅以图像为主,而是要将两者结合起来,这样才能提高问题的解决效率。

例1:曲线方程为2y+ycosx-1=0,将上述曲线首先沿着x轴的方向向右平移π/2個单位,在此基础上,沿着y轴向下方平移1个单位,求解平移之后的曲线方程。

A.2y-(y+1)sinx+1=0

B.2y+(y+1)sinx+1=0

C.2y+(y-1)sinx-3=0

D.2y+(1-y)sinx-3=0

题目要求在上述四个选项中,选择出正确答案,该题目的解题误区往往在于没有充分将函数与图像结合,导致解题失误,出现上述失误的原因一般与解题经验不足有关,对此,应采用以下方法求解:

解:

第一步:将曲线方程2y+ycosx-1=0进行转换,将y单独放在等式左边,将其余部分整理,放在等式右边,最终得出的方程如下:y=1/(cosx+2)。

第二步:根据题目要求,应将上述方程沿着x轴向右平移π/2个单位,因此方程中的x值需要减去π/2,如此可以得到方程沿着x轴平移之后所得到的曲线函数,即y=1/{cos(x-π/2)+2}。

第三步:根据题目要求,在沿x轴平移之后,还应将曲线沿y轴向下平移1个单位,因此,需要将y值减1,如此可以得到原方程平移完成之后的曲线函数,即y=1/{cos(x-π/2)+2}。

第四步:将方程y=1/{cos(x-π/2)+2}进行整理,最终得到2y+(y+1)sinx+1=0,因此本题应选答案B。

2 函数图像问题

函数图像问题也是高中三角函数解题过程中容易出现误区的问题,在求解过程中,应重视函数的变形,这样才能避免解题出现错误。

例2:求函数y=cosx/3,x∈[0,4π]的值域。

在上述题目求解过程中,容易出现以下错误:

错误解题方法:

第一步,将x/3看作t,将其在y=cos(x/3)中进行替换,即可得到y=cost,由于x∈[0,4π],因此可以得到t的取值范围,即t∈[0,4/3π]。

第二步,在上述步骤的基础上,将t的值设置为4/3π,此时y便能够取得最小值,进而求得函数的取值范围即[-1/2,1]。

在上述解题过程中,第一步为正确解题思路,但第二步并没有结合图像分析问题,这是造成解题失误的主要原因,对此,需要结合函数图像对解题过程进行综合考虑。正确的解题方法如下:

正确解题步骤:

第一步,将x/3看作t,将其在y=cos(x/3)中进行替换,即可得到y=cost,由于x∈[0,4π],因此可以得到t的取值范围,即t∈[0,4/3π]。

第二步,将上述函数的取值与图像相结合,在t=0的情况下,可以得出y的最大取值,即1。在t=π的情况下,可以得出y的最小取值,即-1。

第三步,综合y的最大与最小取值,可以得出y的取值范围,即y的值域,为[-1,1]。

3 三角函数取值范围问题

在解题过程中,同样容易出现忽视三角函数的名称的问题,这一失误是导致这部分题型解题错误的根源。

例3:α与β均为锐角,已知sinα=55,而sinβ=1010,求α与β相加的值。

错误解题方法:

第一步,根据α与β均为锐角之这一已知条件,得出α与β相加的取值范围,即0<α+β<π。

第二步,根据sinα与sinβ的值,得出cosα与cosβ的值,分别为255和31010。

第三步,将sin(α+β)展开,并将cosα与cosβ的值代入,最终得出sin(α+β)的值,为22。

第四步,在求出sin(α+β)的基础上,得出两者相加的值,即π/4或3π/4。

正确解题思路:

上述解题方法中,前三步解题思路均正确,但问题在于,上述解题过程并未对α+β的取值范围进行明确的限制,仅仅将其限制在0到π的范围内,会导致其取值范围过大。

对此,在对α+β的取值范围进行限制的过程中,应根据sinα与sinβ的值来进行判断,由于上述两者的值明确,据此可得出,α的取值范围在0到2π之间,而β的取值范围则在0到π/6之间。将两者相加,可得出其α+β的取值范围,即在0到π/3之间。

综合上述条件,可以得出α+β=π/4。

由此可见,在针对这一类型的三角函数题目进行解题的过程中,必须要重视有关取值范围的问题,要避免将其取值范围扩大化,要在综合考虑多种因素的基础上,得出其正确范围,并将其代入到解题过程中,以使解题结果能够更加准确。

4 结论

在高中三角函数解题过程中,同学们对取值范围的确定会存在一定的失误,这主要由考虑问题不全面所导致,因此,解题时必须全面考虑问题。除此之外,多数同学极容易忽略有关函数图像的问题,对此,在解题时,必须时刻考虑到函数的图像,要将数形结合的方法进行综合应用,深入渗透到每一题型的解决过程,这样能提高解题效率,同时保证解题的准确性。

参考文献

[1]王子斌.浅谈解答三角函数问题的方法和技巧[J].才智,2014,(08):57.

[2]赖彩玲.论高中数学中的三角函数变换[J].教育教学论坛,2012,(12):116-117.

[3]宋艳丽.略谈高中数学三角函数教学策略[J].才智,2012,(25):122-123.

[4]沈婕.基于考生水平表现标准科学评价考生及教学——以2014年普通高考(天津卷)数学(理工类)考生水平分析为例[J].考试研究,2015,(01):34-45.

[5]孙侠,殷志祥,许峰等.高等数学和新课标下中学数学的脱节与衔接问题的研究与探索[J].教育教学论坛,2013,(52):214-215.

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