2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷理科数学模拟试题

许少华

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合U={1， 2， 3， 4， 5}，集合A={x∈N | x2-6x+5<0}，则CUA=（ ）

A. {1， 5} B. {1， 2} C. {2， 4} D. {1， 3， 4}

2. 若a（2-i）2+bi（1-i）=2-5i（a， b∈R），则复数a+bi在复平面上对应的点在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 某学校星期一至星期五上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟. 第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟. 某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不小于10分钟的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

4. 已知雙曲线■-■=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则■·■的最小值为（ ）

A. 2a-c B. a-2c C. 2a（a-c） D. a-c

5. 半径为1的球内接正三棱锥，若三棱锥的高为■，则三棱锥的侧面积为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

6. 执行如图所示的程序框图，

则输出S的值为（ ）

A. -15 B. 15 C. 18 D. -18

7. 一几何体的三视图如右图所示，若小网格是边长为1的小正方形，则该几何体的体积为（ ）

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

8. 如图，是函数f（x）=Asin（？棕x+？准）（A>0， ？棕>0， 0<？准<？仔）的一个周期的图像则的f（x）一个增区间为（ ）

A.[-■， ■] B.[■， ■]

C.[-■， ■] D.[-■， ■]

9. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2017x+5，（x<0）f（x+1）-f（x+2），（x≥0） 则f（2017）的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 2016 D. 2017

10. 如图，ABCD为等腰梯形，若CD=■AB=4，且梯形面积为20，若E为BC中点，F，G分别为DA的三等分点，则■·■=（ ）

A. -■ B. -■

C. -■ D. -■

11. 点N是圆（x+5）2+y=1上的动点，又知以点A（3， 0）为直角顶点的直角三角形ABC两顶点B，C在x2+y2=25的圆周上，BC中点为M，则 |MN| 的最大值为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

12. 方程a（x-1）2 = （2-x）ex 有且仅有一个根的充分不必要条件为（ ）

A. -■≤a≤1 B. -■≤a≤2

C. -■≤a≤1 D. -■≤a≤■

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 求（x+ay-3z）9的展开式中含x4y2z3的系数为-13608，则实数a= .

14. ？驻ABC中，若sinB=sinC且sin 2 A=2sin 2 B（1-sinA），则∠A= .

15. 若y=（■）x与y=log■x图像的交点为（x0， y0），当00恒成立，则t 的范围为

.

16. 过抛物线y2=2px 的焦点F 的直线交该抛物线于A、B两点，若 | AF |·| BF | 的最大值为16，则p 的值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. （本小题满分12分）数列{ an } 满足：a1=6， an+1=an+2n+1

（1）求数列{ an } 的通项公式；

（2）设Tn=■+■+…+■，试证：Tn=■.

18. （本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°， BC=2， AC=2■， 且AA1⊥A1C，AA1=A1C.

（1）若D 是AC 的中点，求证：？驻A1DB1是直角三角形；

（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成的二面角.

19. （本小题满分12分）某人在从甲、乙两社区各经营一个小士多店，他记录了连续25所营业额（单位：拾元），结果茎叶图如下：

（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论；

（2）若从两店营业额超过三仟三佰元的天中随机抽取四天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X ，求X 的均值.

20. （本小题满分12分）已知动圆P 与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2： （x-3）2+y2=1相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M、 N两个不同的点.

（1）求曲线C 的方程；

（2）试探究 |MN| 和 |OQ|2 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

（3）记？驻QF2M的面积为S1，？驻OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值.

21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=ln（x+2a）-ax，a>0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）记f（x）的最大值为M（a）， 若a2>a1>0且M（a1）=M（a2），求证：a1a2<■；

（3）若a>2，记集合{x | f（x）=0}中的最小元素为x0，设函数g（x）=| f（x） | +x， 求证：x0是g（x）的极小值点.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分

22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. 过抛物线x=2pt2，y=2pt（t为参数）的焦点F作弦BC，若BC的垂直平分线交BC于M，交x轴于N.

（1）当BC的极坐标方程为cos？兹+■sin？兹=p时，写出弦BC所在直线的参数方程，并求 | BC | ；

（2）求证： | MN |2 = | FB |· | FC |.

23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲.

对于函数f（x）=ax2+x-a，

（1）当a=1时，解不等式 | f（x） | < | 2x+1 |；

（2）若 | a |≤1且 | x |≤1，求证：| f（x） | ≤■.

参考答案

一、选择题

1. A；由x2-6x+5<0 ？圯1< x <5.

由于x∈N，所以A= {2， 3， 4}，于是CUA= {1， 5}.

2. D；由a（2-i）2+bi（1-i）=3a-4ai+b+bi=（3a+b）-（4a-b）i=2-5i.

从而3a+b=2，4a-b=5？圯a=1，b=-1？圯a+bi=1-i.

3. A；该同学到达的时间总长度为40，其中在8：50～9：30进入教室时，听第二节课的时间不小于10分钟，其时间长度为20，故所求概率为■=■，选A.

4. C；由意知A1 （-a， 0），F2 （c， 0），P （x1， y1），得y1 2=■-b2，

则■=（-a-x1， -y1），■=（c-x1， -y1）.

那么■·■=（a+x1）（x1-a）+y1 2=■-（c-a）x1-b2-ac.

由于■-a=■<0，又x1≥a.

故当x1=a时，■·■取得最小值c2-（c-a）a-b2-ac=2a2-2ac=2a（a-c）.

5. B；如图，V-ABC是半径为1的球内接正三棱锥，H为V在底面内的射影，O为球心，设底面边长为a，则BH=■BD=■×■a=■a.

由BO2=BH2+OH2？圯1=（■a）2+（■-1）2？圯 a=■.

那么VD2=VH2+DH2？圯VD2=（■）2+（■）2？圯 VD=■.

于是，侧面积为S=3×■×■×■=■.

6. A；第一次执行程序，得到S=0-12=-1，i=2；

第二次执行程序，得到S=-1+22=3，i=3；

第三次执行程序，得到S=3-32=-6，i=4；

第四次执行程序，得到S=-6+42=10，i=5；

第五次执行程序，得到S=10-52=-15，i=6；

到此结束循环，输出的S=-15.

7. C；由三视图可得几何体的立体图是放置于正体中的三棱锥.

由于正方体的边长为4，

因此，体积为V=■×■×4×2×4=■.

8. A；由图像知A=2，由■×■=■-■？圯？棕=3，又x=■时，f（x）=0，即2sin（3×■+？准）=0，可得？准=■，

所以f（x）=2sin（3x+■）.

由-■+2k？仔≤3x+■≤■+2k？仔？圯■-■≤x≤■+■.

9. B；由f（x）=f（x+1）-f（x+2），得f（x+1）=f（x+2）-f（x+3）两式相加得f（x）=-f（x-3），显然f（x）=-f（x-3）=f（x-6）.

那么f（2017）=f（6×337-5）=f（-5）=2017-5+5=1，选A.

10. C；由CD=■AB=4及面积为20可得梯形的高为4. 以AB为x轴，AB的中垂线为y建立直角坐标系，则A（-3， 0），B（3， 0）， E（■， 2）， G（-■， ■）， F（-■， ■），

那么■=（-■， ■），■=（■， ■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.

11. D；如图，设M（x， y），由于M是BC的中点，则OM⊥BC，于是OM2+MB2=OB2.

又因为MB=MA，得x2+y2+（x-3）2+y2=25，

即M 的轨迹方程为（x-■）2+y2=■.

那么， |MN| 的最大值为5+■+1+■=■.

12. D；设f（x）=（x-2）ex +a（x-1）2 ，则f′（x）=（x-1）（ex+2a）.

易得当a>0时，当x∈（-∞， 1）时，f ′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f ′（x）>0. 所以f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增. 又f（1）=-e，f（2）=a>0，

取b 滿足b<0且b■（b-2）+a（b-1）2=a（b2-■b）>0，即a>0时，f（x）有两个零点. 也就是说：a>0时，方程a（x-1）2 = （2-x）ex 有两个根.

若a=0，则f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一个零点.

若a<0，由f′（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.

当ln（-2a）≤1即a≥-■时，x∈（1， +∞）时，f′（x）>0，因此f（x）在（1， +∞）上单调递增. 且x≤1时，f（x）<0，f（3）=e3+4a≥e3+4（-■）=e（e2-2）>0，此时，有且仅有一个零点.

当ln（-2a）>1即a<-■时，f（x）在（-∞， 1）单调递增，在（1， ln（-2a））单调递减，在（ln（-2a）， +∞）单调递增. 由于f（1）<-e<0，可得x≤ln（-2a）时，f（x）<0，取a=-2，则f（3）=e3-2×22=e3-8>0，此时，f（x）在 （ln（-2a）， +∞） 有且仅有一个零，也是在定义域内有且仅有一个零. 故选D.

二、填空题

13. a=2；由（x+ay-3z）9=[x+（ay-3z）]9，

得Tr+1=C9r·x9-r·（ay-3z）r=C9r·x9-r·Crt·（ay）r-t（-3z）t

=C9r·ar-t·（-3）t·x9-r·yr-t·zt.

结合题设，得t=3，r-t=2，9-r=4？圯 t=3， r=5，于是，含x4y2z3的系数为

C9 5·a2·（-3）3，由C9 5·a2·（-3）3=-13608？圯a=2.

14. ■；由sin 2 A=2sin 2 B（1-sinA），结合正弦定理得a2=2b2（1-sinA）.

又由sinB=sinC？圯b=c.

那么，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=2b2（1-cosA）=2b2（1-sinA）.

于是sinA=cosA？圯tanA=1？圯A=■.

15.[-1，1]；结合图像易知0

那么不等式2t（■）x+（1-t）■>0可转化为：5t·■+（4-3t）>0.

令a=■，则f（a）=2ta+（1-t）>0，当a∈（0，1）时恒成立，则f（0）≥0，f（1）≥0，也就是2t·0+（1-t）≥0，2t·1+（1-t）≥0？圯-1≤t≤1，于是实数t存，其范围为.[-1，1].

16. 4；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+■.

再设∠AFB=？兹，则t2+1=■.

由x=ty+■，y2=2px？圯y2-2pty-p2=0？圯y1+y2=2pt，y1y2=-p2.

那么■+■=sin？兹·■=■■=■.

由■=■+■≥2■？圯

│AF│·│BF│≥p2，由p2=16？圯p=4.

三、解答题

17.（1）由an+1-an=2n+1，又a1=6.

于是an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=6+22+…+2n=4+■=2n+1+2.

（2）由于■=■=■>■=■-■.

于是Tn=■+■+…+■>（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=■-■>■.

18.（1）由于AA1=A1C且D是AC的中点，所以A1D⊥AC.

又由于侧面A1ACC1與底面ABC垂直，且面A1ACC1∩面ABC=AC.

所以A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB.

由于A1B1∥AB，得A1D⊥A1B1.

故△A1DB1的形状是直角三角形.

（2）由于∠ABC=90°，于是以B为原点，BA为x、BC为y建立空间直角坐标系.

如图，

可得A（2■，0，0），C（0，2，0），A1（■，1，■），■=（-■，1，■），面ABC的法向量■=（0，0，1）.

设面A1ABB1的法向量为 ■=（x，y，z），

则■·■=0，■·■=0？圯2■x=0，-■x+y+■z=0？圯x=0，y+■z=0，取y=■，则z=-1，

得面A1ABB1的法向量为 ■=（0，■，-1），

于是cos<■，■>=■=-■？圯<■，■>=120°.

故侧面A1ABB1与底面ABC所成的二面角120°.

19.（1）对茎叶图进行观察，可以发现如下结论：

1. 乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数.

2. 甲店营业额较乙店营业额更分散.（或：乙店营业额较甲店营业额更集中（稳定）.甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大）.

3. 甲店营业额的中位数为3070元，乙店营业额的中位数为3180元.

4. 乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲店营业额除一个特殊值（3520）外，也大致对称，其分布较均匀.

（2）由茎叶图可知，两店营业额超过三仟三佰元的天共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天.

由题意得X的可取值为0，1，2，3，4且P（X=0）=■=■，P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，P（X=3）=■=■，P（X=4）=■=■.

于是，X的概率分布列表如下：

故X的均值为EX=0×■+1×■+2×■+3×■+4×■=■.

20. （1）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R.

由于动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x-3）2+y2=1相内切，所以动圆P与圆F1只能内切.

所以│PF1│=9-R，│PF2│=R-1？圯│PF1│+│PF2│=8>│F1F2│，那么圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6.

故圆心的P的轨迹方程为■+■=1.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，

由x=my，■+■=1，可得：x2=■，y2=■，∴ ■=■，■=■，

∴ │OQ│2=x23+y23=■+■=■.

由x=my+3，■+■=1，可得（7m2+16）y2+42my-49=0，

∴ y1+y2=-■，y1y=-■，

∴ │MN│=■=

■=■│y2-y1│=■■=■■=■.

∴ ■=■=■.

∴ │MN│和│OQ│2的比值为一个常数，这个常数为■.

（3）∵ MN∥OQ，∴ △QF2M的面积与△OF2M的面积相等，所以S=S1+S2=S△OMN.

又因为O到直线MN：x=my+3的距离为d=■.

所以S=■│MN│·d=■×■×■=■.

令■=t？圯m2=t2-1（t≥1），

因为S=■=■=■≤■=2■，当且仅当7t=■？圯t=■，亦即m=±■时取等号，故当m=±■时，S取得最大值2■.

21.（1）由f ′（x）=■-a=■.

因为x>-2a，a>0，由f ′（x）>0，得-2a■-2a.

所以，f（x）的单调增区间为（-2a， ■-2a）；减区间为（■-2a，+∞）.

（2）由（1）知，M（a）=f（■-2a）=2a2-1-lna，

∴ 2a21-1-lna1=2a22-1-lna2？圯2（a22-a21）=lna2-lna1=ln■，

∴ 2a1a2·■=ln■？圯4a1a2·（■-■）=2ln■？圯4a1a2=■.

设h（t）=t-■-2lnt（t>1），则h′（t）=1+■-■=（1-■）2>0.

所以，h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）>h（0），即，t-■>2lnt>0，因■>1，故■-■>2ln■>0？圯0<■<1，所以a1a2<■.

（3）由（1）知，f（x）在（-2a，■-2a）上单调增，又x→-2a时，f（x）→-∞ .

易知f（■-2a）=M（a）=2a2-1-lna？圯M′（a）=4a-1-■=■，显然，a∈（2，+∞）时，M′（a）>0从而M（a）递增，于是M（a）>M（2）=7-ln2>0.

所以-2a0.

所以，当-2a

（a+1）x-ln（x+2a）， （-2a

于是-2a

记H（a）=f（■-2a）=2a2+■-1-ln（a+1），

则H′（a）=4a-■-■，当a>2时，H′（a）>8-■-■>0，所以H（a）在（2，+∞）内单调递增，∴ H（a）>H（2）=■-ln3>0，∵ ■-2a<■-2a ，∴ f（x）在（-2a，■-2a）內单调递增，∴ x0∈（-2a，■-2a）.于是-2a

∴ g（x）在 （-2a，x0）上递减.

当x0■-（a-1）=1>0，

∴ g（x）在（x0，■-2a）上递增，故x0是g（x）的极小值点.

22.（1）由x=2pt2，y=2pt？圯y2=2pt得抛物线的焦点F（■，0）.

又由cos？兹+■sin？兹=p？圯x+■y=p得直线BC的倾斜角为150°.

故BC所在直线的参数方程为x=■-■t，y=■t（t为参数），将它代入y2=2pt中，整理得t2+4■pt-4p2=0.

∴ │BC│=│t1-t2│=■=2p.

（2）设弦BC所在直线的倾斜角为？琢，则直线BC的参数方程为x=■+tcos？琢，y=tsin？琢（t为参数）代入y2=2px，整理得t2sin2？琢-2pcos？琢t-p2=0.

则│FB│·│FC│=│t1│·│t2│=│t1·t2│=■.

∵ M为BC的中点 ，∴ │MF│=■│t1+t2│=│■│.

∴│MN│=│MF│·│tan？琢│=│■│·│tan？琢│=■，即MN2=■.

∴ MN2=│FB│·│FC│.

23.（1）当a=1时，由│f（x）│<2x+1？圯│x2+x-1│<2x+1？圯x2+x-1<2x+1，-2x-10？圯-10？圯0

故不等式│f（x）│<│2x+1│的解集为{x│0

（2）法一：

由│f（x）│=│（x2-1）a+x│≤│x2-1│·│a│+│x│≤│x2-1│+│x│=1-x2+│x│=-（│x│-■）2+■≤■.

法二：设F（a）=f（x）=（x2-1）a+x，∵ │a│≤1，显然│f（x）│=│F（a）│≤max{│F（1）│，│F（-1）│}=max{│x2-1+x│，│-x2+1+x│}.

由│x│≤1，得│x2-1+x│=│（x+■）2+■│≤■，│x2-1+x│=│-（x-■）2+■│≤■.故结论成立.

责任编辑 徐国坚