如何让学生会“数学地”思考问题

盛璇

《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称“《数学课程标准》”）第一次将数感作为新课程标准十个核心概念的首要概念，并明确规定应为学生掌握的核心内容，需要培养的核心数学素养，可见培养学生数感的重要性。但在日常的教学过程中，由于教师对数感的培养缺乏应有的认识，往往只是教给学生有关对数的认识、数的计算和数的应用方面的知识，缺乏对学生数感的培养，亦或由于教师理念上的先天不足而在培养学生数感的过程中存在这样或那样的误区，致使一些学生面对现实的数学问题，由于自身数感不强，常常束手无策。那么，如何培养学生的数感，让学生会“数学地”思考问题？

一、对数感内涵的认识

通过阅读报刊杂志和上网查找资料，国内外关于数感的种种说法有很多，经过大致梳理有以下几类：第一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；第二，认为数感与语感、美感等类似，是一种“直感”；第三，认为数感是一种主动地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养。

新《数学课程标准》对数感作出了明确的解释：数感，主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”这便于我们明确数感的具体内容，把握数感的教学方向，便于在日常教学中培养学生的数感。

上海市特级教师曹培英在给我们做的報告《“十大核心词”的解读研究》指出：数感如同球员的球感。歌手的乐感，每个人都有，只是程度感觉的不同罢了。简单通俗地说，数感就是对于数的感悟和理解。北京教育学院数学系副教授张丹在所著的《小学数学教学策略》中将数的学习归为四个方面：在对具体情境中数与数量、数量之间关系等感悟的基础上理解数的意义，运用多种方法来表示数，把握数的相对大小关系，运用数来表达和交流信息。由此不难看出，这里的“感”不仅仅停留在感性认识上，而是在感性基础上的理性认识。《小学数学教学法》一书中指出：数感是人们对数与运算的一般理解，有助于人们用灵活的方法做出数学判断，并为解决复杂问题提出有用的策略。综合上述的观点，我认为：数感是人的一种基本数学素养，是一个人对数的意义和运算的直觉感知，具有良好数感的人，对数的意义和运算有灵敏而强烈的感觉、感受和感知的能力，并能作出迅速准确的反应。它不仅体现在计算能力和解决书本问题能力上，而且体现在学会数学地思考，当遇到与数学相关的问题时，能自然地、有意识地和数学相联系，用数学的观点和方法来处理解决，可以理解为数感就是可以“数学地”思考问题。

二、培养学生数感的教学误区

数感的建立是提高学生数学素养的重要标志，有助于提高学生数学地思考和解决问题的能力。但在日常教学中，由于教师受应试教育的影响，对数感的认识还存在不同的偏差，以至于在培养学生数感的过程中还存在一些误区。

误区之一：感受大数是与生俱来的，后天无法养成

不可否认，某些数学家天生就有很强烈的数感，10岁的高斯毫不费劲地完成了等差数列（比如由1到100的自然数）求和，得益于他对计算方法的直接把握；12岁的帕斯加独立完成了三角形内角和定理的证明，一直为人们津津乐道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中产生了八位数学家，我国南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孙的数学成就闻名于世，但毕竟是凤毛麟角，屈指可数。

数感的形成固然有遗传因素和家族影响的作用，而更多是后天努力的结果。解析几何创始人笛卡儿出身于法国贵族家庭，父亲是政府雇员；牛顿出身在英国农民家庭，还是遗腹子，全靠自己努力取得成功；概率论奠基者拉普拉斯的父母是法国农民；费马则是法国皮革商的儿子。我国古代数学家刘徽、杨辉、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光启、李善兰，他们家族中没有一人是数学家，他们的数学素养全靠后天养成。更何况数学新课程的培养目标不是数学家，数学教育的目的在于提高学生的数学素养，“获得适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能”，会“数学地”思考问题。

形成数感不是一蹴而就的事，需要一定数量和足够时间的学习，在适宜的重复性训练后便自然形成数感。数感与记忆的程度有关，如果对数的记忆程度越深，对数的感觉和反应就越灵敏。中国自古以来就有“熟能生巧”的说法，就是这个道理。实践证明，绝大多数学生通过努力是可以建立起数感的。

误区之二：数感不就是会数数、会计算吗

这是一种片面的理解。所谓数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，它是建立在对事物数量关系的直观感知之上的。会数数、会计算只是最低层次的数感，理解数的意义，知晓现实事物与数目可以建立一一对应关系，可以完成日常生活所必需的计算，这只能算是被动的“数感”，刚刚摘了“数盲”的帽子，这是第一层次的数感。

第二层次的数感已经超越了“结绳记事”阶段，不再满足于具体数字计算，而是进一步用数学的观点来思考和处理问题，能为解决问题选择适当的算法，具有策略性知识。在课堂教学中集中表现为：对数学知识充分领悟，对思维训练快速反应，对个性教养的深刻感受。在数学活动中，学生总是自发或自觉地运用已有的认知结构中有关模块，对数学情境能迅速反应、准确把握、思路敏捷、解答简缩，能自然地运用最优化的解题策略。在日常生活中，他们勤于数学观察和数学思考，善于从数学角度发现问题。

数学教育主要是培养这一层次的数感，使学生养成从数学角度看世界。当他们遇到可能与数学有关的具体问题时，就能自然地、有意识地与数学联系起来，或者试图进一步用数学的观点和方法来处理解决，会“数学地”观察与思考。我们没有必要，也不可能让人人都成为数学家，但应当使每一个人都具有数感，会“数学地”思考问题。数学素养作为素养之一，不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量的，而学生学会数学地思考问题，用数学的方法理解和解决实际问题，能从现实的情境中看出数学问题，这才是数学素养的重要标志，所以说，数感是人的一种基本的数学素养。

第三层次数感已进入到“自由”阶段，这是一种数学的至高境界，完全脱离现实世界，进入到虚无抽象的数学世界，凭借对数学美的直觉，孜孜以求。在欧拉最后17年生命中，他已双目失明，但并不妨碍他对数学世界敏锐的洞察力，“欧拉计算毫不费力，就像人的呼吸，或如老鹰在空中翱翔一样自如”，支撑他的就是这种高层次的数感；陈景润当年身居斗室却心系“明珠”，为攻克“歌德巴赫猜想”忘我工作，几近痴迷，应是此种境界。王维的千古名句“大漠孤烟直，长河落日圆”在数学家眼里却是平面上的一条垂线，一条直线上外切着一个圆。

误区之三：数感的培养必须通过数学情境

通过创设情境激发学生的数学学习兴趣，这是新课改所提倡的，本身无可厚非。问题是有些教师过于追求教学的情境化，为了创设情境可谓是“冥思苦想”，好像数学课脱离了情境，就不是新课改数学课。为了培养数感，今天是去商店“买东西”，明天到旅游点“买门票”，后天又是计算“存款利息”，刚开始的新鲜劲一过，学生们渐渐习以为常，情境也就失去了新异性，根本不能激起他们的兴趣，那么，学生数感的培养也就无从谈起。教学中，不要单纯地用“生活化”“活动化”冲淡“数学味”，不能把数学课上成活动课、游戏课。更不能为了贴近生活，常常“挖空心思”编造一些题目来帮助学生建立数感。

三、培养学生数感的有效教学策略

良好的数感是学生今后进一步学习数学和生活的基础，因此教师要切实认识到数感的重要性，有计划有意识地将数感的培养纳入自己的日常教学之中。

1. 遵循学生的年龄特征和认知规律培养学生的数感

20以内、百以内的数可以让学生数一数，如数小棒、数小方块，但是1000的认识，你让孩子数1000，10000的认识以及后面要学习的的几万、几十万、几百万，整万数的认识，这种数实物的方法已不适宜了。因此，要根据数的大小关系以及学生的年龄特征灵活采取不同的方法，可以是实物数数，构建数感，也可以是数形结合，发展数感。而“数形结合、发展数感”实践的是一种数量间的相对大小关系。在这里重点是构建一种估计的方法，建立一个估量的标准（参照物）。例如，教学情境的创设，要符合不同年龄段学生的心理特点和认知规律，要根据不同的教学内容有所变化，创设的情境還应该赋予一定的时代气息。情境的表现形式应该是多种多样的，如问题情境、活动情境、故事情境、竞争情境等。对于低年级、中年级的学生，可以通过讲故事、做实验、模拟表演、直观演示等形式创设情境；而对于高年级学生，则要侧重创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，用数学本身的魅力去吸引学生。

2. 在适度“数境”中培养学生数感

在数学悟境（以下简称“数境”）中培养学生数感，就是说要将数感的培养置于适度的数境中。语境、语感、数境、数感，数境可以从两方面来理解，第一个是数的应用环境，而不是直接的认识数，而是置于一定的生活情境中，第二个语文老师都非常清楚，字词的认识肯定是要放于句子中的，那么我们数的认识，肯定放在一个数的范围中，比如教学《万以内数的认识》，就先出示1000到10000，让学生读一读、看一看，谈一谈有什么感觉，就是在整体感知以后再去认识某一个数，所以这就是我们对数境的理解，其实数感的培养置于数境中能够更好地让学生对数有一种感觉。

3. 在数的认识实践中培养学生数感

读数同样能够让孩子读出一种数的感觉，这应该是我们在数的教学过程中可以去追求的一个方向。

新《数学课程标准》中指出：“在第一学段的教学中，要引导学生联系自己身边具体、有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，初步建立数感。”数感不是通过传授而能得到培养的，更重要的是让学生自己去感知、发现，知道在学习生活中处处有数的存在，很多问题需要用数学的思想和方法去解决，从而学习用数来概括、表达自己对事物的认识，在此过程中培养学生数感。能把数的概念与它们所表示的实际含义建立起联系，是理解数的标志，也是建立数感的表现。因此在“数的认识”的教学中，教师要充分利用学生身边的数学素材，努力唤醒学生已有的生活经验，并向儿童展示数的概念的现实来源和实际应用，以帮助学生把握数概念的实质，真正理解数的意义，建立良好的数感。例如教学克、千克的认识时，让学生寻找并掂量1克与1千克的物体，寻找哪些物体分别用“克”“千克”作单位。像一分硬币重1克，4粒黄豆大约重1克，两袋盐重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、药片、黄金等细小物品用“克”作单位，体重、菜、水果等用“千克”作单位；在教学长度单位时，可通过让学生到操场上跑跑、测测、量量，让学生感受50米、100米、500米的距离……这些数据、单位都来自于生活实际，学生很容易理解、接受，它不仅可以培养学生“亲近数学”的行为，而且可以提高学生对数的敏锐程度，形成对数的良好直觉，建立数感。

数感是一种内隐的、非结构的程序性知识，他不是与生俱来的，数感的形成也不是一蹴而就的，而是在学习过程中逐步体验和建立起来的，需要长时间潜移默化的渗透和培养。作为教师，要努力钻研新教材，结合有关内容，寻找各种着眼点，用多种方法加强培养学生的数感，在实际教学过程中需要结合具体的教学内容有意识设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情境、有利于发展学生数感的评价方式，以促进学生数感的建立和数学素养的提高。

（作者单位：湖南省长沙市开福区第一小学）