向量法求二面角中法向量方向的控制

董培晓

向量法求二面角大小原理简单，容易被学生理解并采用，但是教材上没有讲清楚平面法向量夹角大小和二面角平面角的大小之间是相等还是互补，实际解决问题时往往是对二面角大小进行“预判”之后，再进行计算，这种凭着经验的做法难免会有差错，下面我们通过控制法向量的方向，使所求得的法向量夹角大小即为二面角平面角的大小.

一、向量法求二面角的原理

如图1所示，P是二面角棱上任意一点，过P作PA和PB分别垂直棱l，则∠APB即为二面角的平面角，法向量n1和n2的夹角大小等于二面角平面角的补角，如图2所示法向量n1和n2的夹角大小等于二面角平角的大小.

图1图2

显然，我们在用赋值法求法向量时，希望出现图2中的两个法向量，这样就可以排除互补情形，下面我们来探讨赋值法求法向量时方向的控制问题.

二、法向量的方向控制

图3如图3，空间被二面角分为两部分，分别记为内和外，把形如n1和n2的记为内法向量，把形如n3和n4记为外法向量.为了实现图2中法向量夹角大小等于二面角平面角大小，对于二面角的两个半平面来说，一个内法向量，一个外法向量的夹角即为二面角的平面角.

在空间直角坐标系中，设n1=（x1，y1，z1）和n3=（x3，y3，z3），因为n1和n3方向相反，则λ<0，有n1=（x1，y1，z1）=λn3=λ（x3，y3，z3），即x1=λx3，

y1=λy3，

z1=λz3.

∵λ<0，∴x，y，z值异号.∴当n1和n3方向相反时，其在三个坐标轴正方向上的分向量方向也都是相反的，所以可以通过控制其中一个分向量方向，来控制法向量的方向.

图4例如，如图4，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱中点，求二面角P-BC-A的余弦值.

分析：若取n=（0，0，1）为面AC的一个内法向量，则需平面PBC的一个外法向量n1，容易观察n1在z轴正方向上的分向量为正，在赋值时可首先令z为一个正值，再解出x，y；若取n=（0，0，-1）为平面AC的一个外法向量，则需平面PBC的一个内法向量n2，易观察n2在z轴正方向的分向量是负，在赋值时可首先令z为负值，再解出x，y值.

三、实例应用

图5例如，（2016年浙江）如图5，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求二面角B-AD-F的余弦值.

解：延长AD，BE，CF相交于一点Κ，则△ΒCΚ为等边三角形.取ΒC的中点Ο，则ΚΟ⊥ΒC，又平面ΒCFΕ⊥平面ΑΒC，所以，ΚΟ⊥平面ΑΒC.以點Ο为原点，分别以射线ΟΒ，ΟΚ的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Οxyz.则Β（1，0，0），C（-1，0，0），Κ（0，0，3），Α（-1，-3，0），因此，ΑC=（0，3，0），ΑΚ=（1，3，3），ΑΒ=（2，3，0）.设n1=（x1，y1，z1）是平面ΑCΚ的一个法向量，n2=（x2，y2，z2）是平面ΑΒΚ的一个法向量，由ΑC·n1=0，

ΑΚ·n1=0， 得3y1=0，

x1+3y1+3z1=0， 令x1=3，则z1=-1，∴n1=（3，0，-1）；由ΑΒ·n2=0，

ΑΚ·n2=0， 得2x2+3y2=0，

x2+3y2+3z2=0， 令x2=3，代入解得y2=-2，z2=3，∴n2=（3，-2，3）cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=34.所以，二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值为34.

控制法向量方向时，在其三个分向量中，哪一个方向易观察就先赋值，再代入方程解另外两个，本例中首先给x赋值就是这个道理.