《轴对称》易错题剖析与经验总结

福建省厦门市外国语学校湖里分校(361006)

徐玲玲●



《轴对称》易错题剖析与经验总结

福建省厦门市外国语学校湖里分校(361006)

徐玲玲●

轴对称是初中数学学习中的重要内容，也是中考的重要考点之一，但是很多学生对该概念理解不清，并不能适时总结，导致各种各样的问题出现.

轴对称；易错题；总结

一、性质模糊

例1 如右图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB⊥PC，D是AP上的一点，求证：∠BDP=∠CDP.

证明 ∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC

∴∠PAB=∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角平分线上).

∵∠APB+∠PAB=90°,∠APC+∠PAC=90°,∴∠APB=∠APC.

总结：可以明显看出，上述例题给出图形为轴对称图形，该题可通过两三角形全等的解题方式来求证，上述证明过程使用的轴对称的性质，然而通过角平分线的逆定理——“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”，得到“相等角对应相等距离”的结论，从而进行题目的证明.

二、正确使用中垂线性质

例2 如右图所示，AD垂直平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证DE=DF.

证明 ∵AD是BC的中垂线,∴B、C关于AD对称.又∵A、D在直线AD上,∴A和它本身对称，D也和它本身对称,∴△ABD和△ACD关于AD对称,故∠BAD和∠CAD能够重合.∴∠BAD=∠CAD.又∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF.

总结：要证明DE=DF，只需要证明AD是∠BAC的平分线，而AD是BC中垂线可得B、C两点关于AD对称，故△ABD和△ACD关于AD对称，则可得∠BAD=∠CAD.不能一看到中垂线就想先证明线段两端距离相等，而是要认真分析题意，看清该题到底需要什么结论.

3．等腰三角形与等边三角形性质

例3 如图(1)，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O.若点C沿EF(E在BC边上，F在AC边上)折叠后与点O恰好重合，则∠CEF的度数是( ).

A.56° B.50° C.46° D.44°

解 如图(2)，连接OB、OC，由“三线合一”知AO⊥BC，从而有OB=OC.

总结：上述例题围绕着等腰三角形的性质以及等边三角形性质来出题，在解题步骤上具有一定的固定性，需要掌握三大解题关键：①等边对等角；②三角形一外角等于其他不相邻内角和；③根据三角形的内角和等于180°列出相应方程.

四、掌握辅助线的添加方法

例4 如右图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F.求证：BE+CF>EF.

(遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题)

同理可证：CF=NF.

在△EFN中，EN+FN>EF(三角形两边之和大于第三边),∴BE+CF>EF.

∴CM=BE(全等三角形对应边相等).

又∵∠BDE=∠ADE,∠ADF=∠CDF,而∠BDE+∠ADE+∠ADF+∠CDF=180°,

∴∠ADE+∠ADF=90°,即∠EDF=90°,

∴∠FDM=∠EDF=90°.

在△CMF中，CF+CM>EF，∴BE+CF>EF.

例5 如下图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE.求证：EF⊥BC.

证法一 作BC边上的高AD，D为垂足.

∵AB=AC,AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一).又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∠AEF=∠AFE,∴∠CAD=∠E,∴AD∥EF.∵AD⊥BC,∴EF⊥BC.

证法三 过E作EH∥BC交BA的延长线于H.

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,∴∠H=∠B=∠C=∠AEH.∵∠AEF=∠AFE,∠H+∠AFE+∠FEH=180°,∴∠H+∠AEH+∠AEF+∠AFE=180°,∴∠AEF+∠AEH=90°,即∠FEH=90°.∴EF⊥EH,又EH∥BC,∴EF⊥BC.

总结：上述两个例题分别围绕着角平分线性质与等腰三角形性质来出题，性质的应用是解决一些问题的关键，在解题过程中可通过辅助线的添加从而拓展问题内部间关系.在解题过程中不同辅助线的添加将有不一样的解题过程，所以也具有一定的优劣性.

本文对轴对称问题的几个易错点进行了总结，望在学生们的学习过程中有一定的启发作用.

[1]章颖．图形与几何系列:平移旋转和轴对称教学研究[M]．北京：教育科学出版社，2014.

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