几何直观，让抽象的数“看得见”

【摘要】几何直观是重要的數学思想方法，也是数学素养的重要组成部分。运用几何直观，可以帮助学生建构小数和十进分数之间的关联，直观地理解数学知识，让抽象的数“看得见”。教学中，要关注学生的已有经验，给学生搭建认知的脚手架，引导学生在操作、观察、比较和归纳等丰富的数学活动中，理解数的含义，发展数学思考，提升学生的数学素养。

【关键词】几何直观；抽象；小数的初步认识

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）25-0051-04

【作者简介】张齐华，南京市北京东路小学（南京，210008）副校长，高级教师，江苏省数学特级教师。

新课标明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”可见几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象，它在本质上是一种通过图形来展开的想象能力。

对于小学生而言，数无疑是抽象的。如何借助直观来把握抽象，已是多数教师的共识。比如，认识整数时，我们常借助实物、小棒、点子图、计数器等，理解整数的意义；认识分数时，我们常借助具体的物体、图形或计量单位，引导学生在折一折、分一分、涂一涂等具体活动中，感受分数的内涵。相对而言，小数的意义则更抽象，而在日常教学中，我们能够给学生提供的具体、直观的支撑也相对贫乏。如何借助具体、直观的图形帮助学生在分一分、画一画、说一说等数学活动中，建立小数和十进分数之间的联系，自主建构小数的含义，笔者进行了如下尝试。

一、分享小数，唤醒已有经验

师：生活中，你在哪儿见过小数？

生1：我在超市里见过小数。

生2：我在菜场上见过小数。

生3：数学书的背面也有小数。

师：既然见过这么多小数，小数会写吗？自己试着写几个小数，并试着读一读。

学生写小数、读数，并全班汇报。

生1：我写的是0.8、1.2、4.5，这些都是小数。

生2：我写的是0.3、0.03、0.003，这些也是小数。

生3：我写的是99.9、3.1415926，这些也是小数。

师：看来，同学们不仅会写小数，而且还会读。仔细观察，这些小数有什么共同特点？

生1：小数都有小数点。

生2：小数都被小数点分成两部分。

师：小数点左边的是整数部分，右边的是小数部分。

生：我发现，小数的整数部分可以是0，也可以是其他整数；数的小数部分，可以只有一个数字，也可以是两个数字、三个数字甚至好多数字。

师：小数部分只有一个数字的，我们称它为一位小数；猜猜看，如果有两个数字，是什么小数？

生1：如果有两个数字，就是两位小数；如果有三位数字，就是三位小数。

生2：小数部分有几个数字，就是几位小数。

学生对于小数并不陌生，生活中，他们有很多机会接触到小数。教学中，教师没有忽视学生的生活经验，而是通过分享生活中的小数，唤醒学生已有的经验储备，进而引导学生自己尝试着写一写、读一读小数。通过这样的活动设计，了解学生的经验究竟处怎样的水平，为教师后续实施更精准的教奠定科学的基础。教学过程中，我们也发现，学生对小数的认识已远超教材设定的水平，也超出了教师的心理预期——他们不仅能准确地读写小数，有些学生甚至能够写出两位小数、多位小数，还有学生甚至对圆周率这样的特殊小数也有所涉猎。难以想象，如果我们的教学不给学生预留足够的时间和空间，仅仅基于数学知识的逻辑顺序，零起点展开教学，这样的课堂将屏蔽掉学生很多宝贵的经验，原本丰富多彩、充满活力的学习活动将被简化为非常无趣、呆板的师生问答。这样的课堂，是我们难以接受的，也是我们需要着力重建的。

二、表征小数，建构数学意义

师：认识小数，我们不能只停留在会写、会读小数，还得弄清每个小数具体表示什么含义。老师手中的这把尺子，它的价格是0.3元。你能试着画一幅图表示1元，然后在图中表示出0.3元吗？

学生独立尝试，组内分享后，全班进行汇报。

生1：我画了一个长方形，用它表示1元，我觉得0.3元就是其中的一小部分。（在长方形中直接分出一小部分，涂色表示0.3元）

生2：我觉得就这样画一条线不准确，也许这是0.2元，也许这是0.4元。我觉得应该把这个长方形平均分成10份，然后给其中的3份涂上颜色，这里就是0.3元。

生3：我也觉得应该先把长方形平均分成10份。不过，我画的是圆，我把圆平均分成10份，然后涂了其中的3份，这就是0.3元。

生4：我画了一个平行四边形，也平均分成10份，这3份就是0.3元。

生5：我画的是一条线段，我把它平均分成10段，这3段就是0.3元。

师：观察后面几位同学的作品，选择的图形不同，分的方法也不一样，但在表示0.3元时，有没有相同的地方？

生5：他们都把一个图形平均分成10份，表示了其中的3份。

师：为什么要平均分成10份？

生1：因为1元等于10角。

生2：因为1元等于10角，平均分成10份后，每一份是1角，也就是0.1元，3份是3角，也就是0.3元。

生3：因为0.3元就是3角，把1元平均分成10份，其中的3份就是3角，也就是0.3元。

结合学生的交流，教师引导得出：0.3元=3角=元。

在数学中，为了能让小数系统和整数系统统一起来，教师更多选择以告知的方式，帮助学生在十进分数和小数之间建立联系，进而借助十进分数理解小数的含义。在笔者看来，这样的教学符合数学发展的基本规律，但却忽视了学生的已有经验。事实上，学生不仅在生活中经常见到小数，而且他们对于0.3元就表示3角、6.25元就表示6元2角5分，以及1.3米就表示1米3分米等，都已经积累了丰富的经验。这些经验的存在，对于学生如何在小数和十进分数之间建立联系，具有举足轻重的作用。实践证明，这样的联系，学生是完全可以凭借经验储备，自主建构起来的。因而，上述教学，教师选择以任务驱动的方式，引导学生用图形表示1元，进而在图形中表征0.3元。这样的数学活动和任务设计，虽然不是每个学生都能够准确完成的，但是，不同学生所呈现出的不同表征水平、不同理解，恰恰为后续的生生对话提供了丰富的教学资源和契机。0.3元的含义就是在这样自主建构、生生互动、相互碰撞、归纳概括的基础上得以自我实现的。在笔者看来，这就是有意义的学习，也是充满创造力的学习。

三、比较概括，抽象数学理解

师：如果我们把这个长方形看作1米，涂色的这3份又表示多少？为什么？

生：我觉得可以表示0.3米，因为把1米平均分成10份，每份是3分米，也就是0.3米。

师：除了把长方形看作1米，我们还可以把长方形看作什么？相应的，涂色部分又可以表示多少？

生1：我们还可以把长方形看作1分米，那么涂色部分就可以表示0.3分米。

生2：我们还可以把长方形看作1角，那么涂色部分就可以表示0.3角。

生3：我们还可以把长方形看作1天，那么涂色部分就可以表示0.3天。

生4：我反对，我觉得不能把长方形看作1天，因为1天不能平均分成10份。

生5：我觉得1天能平均分成10份，但平均分成10份后，每一份不知道是多少，所以，我也觉得不能把长方形看作1天。

师：看来，重要的不是平均分成10份后，每一份是多少，而是这样的1份或几份，我们可以用十分之一或十分之几来表示，而十分之几就可以表示为零点几。

生1：如果这样的话，我们还可以把长方形看作1千克，那么涂色部分就可以表示0.3千克。

生2：我们还可以把長方形看作1块黑板，那么涂色部分就可以表示0.3块黑板。

生3：我们还可以把长方形看作1支铅笔，那么涂色部分就可以表示0.3支铅笔。

师：现在，如果我们把所有单位都去掉，就把这个长方形看作1，那么，涂色部分又表示多少？为什么？

师：想一想，在这幅作品中，除了0.3这个小数外，你还可以表示出哪一个小数？怎么表示？

生1：我觉得还可以表示0.5，只要再涂上2份。

生2：我觉得还可以表示1.0，只要再涂上7份。

生3：我觉得1.0其实就是1，因为全部涂满后，就是1个完整的长方形。

生4：我觉得如果再在长方形后面添上这样1小份，就可以表示1.1了。

师：你觉得，第一个长方形还需要平均分成10份吗？

生1：我觉得不需要，只要是一个完整的长方形就可以了。

生2：我觉得，如果平均分成10份也没有关系，而且，这样我们还能够发现，1.1里面其实就有11个0.1。

生3：我还发现，1.1里面的两个1表示的意思是不一样的，前面这个1表示1个一，后面这个1表示1个0.1。

生4：我觉得，前面这个1是后面这个1的10倍。

师：现在，如果我们把这个数增加到111.1，你又觉得这四个1之间有怎样的关系？

生：我发现，前面的1总是后面的1的10倍，后面的1满了10个就变成了前面的1。

师：能具体说明一下吗？

生1：比如，第一个1表示1个百，第二个1表示1个十，1个百是1个十的10倍。后面也是一样的。

生2：我发现，整数里的满十进一的规则，在小数里也是同样适用的。

师：你的发现非常了不起！有了满十进一的统一规则，小数就和整数建立起统一的关系。除了1.1，你还能表示别的小数吗？

生1：我觉得还可以表示2.3，只要拿2个这样的长方形，然后再加上3小份。当然，这2个长方形不用平均分成10份，它就表示2。

生2：我觉得还可以表示9.9，只要用9个完整的长方形，加上1个长方形的。

认识小数，从带单位的具体数量入手，最后还要回归到抽象的数。这样，才算是完成了对小数含义的基本把握。然而，这一过程对学生来说是相当困难的，教师需要精心设计教学活动、组织学习素材，引导学生在大量感性活动、直观经验的基础上，通过观察、比较、归纳、概括，最终建构起对小数含义的数学理解。上述教学中，教师通过不断地假设，引导学生变换对“单位1”的理解，在不断变换的过程中感受到，选择什么单位名称并不重要，只要把一个对象平均分成10份，其中的3份就可以表示为0.3。这样的教学设计，既遵循了学生认识数学对象的基本规律，同时也观照了数学核心素养中抽象能力的培养，发展了学生的数学思考。

四、拓展延伸，尝试建立模型

师：今天我们研究的小数，有什么共同特点？

生1：我们研究的都是一位小数。

生2：我们研究的小数都可以表示成十分之几，或十分之几和一个整数的和。

师：生活中，还有很多不是一位小数的小数，就以张老师的身高为例，1.72米，如果还是用长方形表示1米，那么，1.72米又该如何表示呢？

学生独立思考，然后小组热烈讨论，全班汇报。

生1：我觉得一位小数表示十分之几，我猜两位小数就应该表示百分之几，所以，我们只要用1个完整的长方形表示1米，然后再拿出1个完整的长方形，把它平均分成100份，取其中的72份，就是米，也就是0.72米。合起来就是1.72米。

生2：我觉得不用这么麻烦，刚才我们已经知道1.7米该怎么表示了。现以，它的后面又多了一个2，我们知道，这个2表示的是2厘米，所以，我们只要把1.7米后面的这个0.1再平均分成10份，取其中的2份，这样就是1.72米了。

生3：我觉得1.72米表示1米7分米2厘米。1米就是1个完整的长方形，7分米就是把1个长方形平均分成10份，取其中的7份；2厘米就是把刚才的1小份，也就是1分米再平均分成10份，取其中的2小份。合起来，就是1.72米了。（边描述，并在长方形中表示了出来）

生4：我懂了，如果是1.725米，我们就只要把1.72米后面最小的1份再平均分成10份，然后取其中的5份。（边描述，边在长方形中表示了出来，但已经看不太清楚了）

生5：我发现了，小数就是这样不断地往下分出来的。

生6：我补充，小数在分的过程中，每次都要平均分成10份。比如，一位小数就是平均分成10份；两位小数，就是把前面分好的1小份再平均分成10份；三位小数，就是把前面分好的1小份再平均分成10份。这样10份、10份地不断分下去，我们就可以得到三位小数、四位小数和更多位的小数。

生7：我听说过圆周率，它是一个无限小数，3.1415926……我现在知道该怎么表示它了，只要10份、10份地不断分下去，就能得到这个小数。

师：通过刚才的分享，大家都认识到，原来小数本质上就是把1这个数10份、10份地不断分出来的。再回头看看整数，整数又是把1怎样得出来的？

生：我知道了，其实整数和小数是一样的！只要我们把它们连在一起，从前往后看，都是化一当十；从后往前看，其实都是满十进一。

从一位小数拓展为两位小数，我们欣喜地发现了学生思维所呈现出的可贵的迁移能力与创造性。更重要的是，通过这样的拓展与延伸，学生有机会从结构的角度思考小数的意义，把握小数不断十等分的特点，并与整数之间建立起实质性关联。此时，学生头脑中的小数不再是一种孤立的数，它与整数有着本质上的一致性，它已经融入了学生原有的知识结构，并使学生的知识结构得到了有效的拓展和升华。

综观整个教学过程，教师把握学生真实的学习起点，遵循学生认数的基本规律，以任务驱动的方式，引导学生借助直观图，个性化地表征小数的含义，并在交流、对话、沟通的过程中不断求同存异，抽象概括，最终建构起对小数含义的理解。在这一过程中，几何直观发挥了重要的作用，而抽象、推理、模型等数学核心素养也得到了有效的关注与渗透。